Системы случайных величин

1.11. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН При изучении случайных явлений часто приходится одновременно рассматривать две, три и большее число случайных величин. Например, успеваемость наудачу взятого студента характеризуется системой n случайных величин – оценками, проставленными в его зачетной книжке. Определение 1.11.1. Упорядоченный набор случайных величин (), заданных на одном и том же пространстве элементарных событий , называется -мерной случайной величиной или системой случайных величин. Системы случайных величин могут быть дискретными, непрерывными и смешанными в зависимости от типа случайных величин, образующих систему. В первом случае компоненты этих случайных систем дискретны, во втором – непрерывны, в третьем – разных типов. В данном параграфе мы будем рассматривать двумерную случайную величину , которую геометрически можно интерпретировать как случайную точку на плоскости. Полной характеристикой системы является ее закон распределения вероятностей, указывающий область возможных значений системы случайных величин и вероятности этих значений. Как и для отдельных случайных величин, закон распределения системы может иметь разные формы (таблица, функция распределения, плотность и т.д.). Закон распределения дискретной двумерной с.в. можно задать формулой , , или в форме таблицы с двойным входом: где . Определение 1.11.2. Функцией распределения двумерной с.в. называется функция , которая для любых действительных чисел и равна вероятности совместного выполнения двух событий и . Геометрически функция интерпретируется как вероятность попадания случайной точки в заштрихованный прямой угол с вершиной в точке (см. рис.1.11.1). Рис.1.11.1 Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, находится по формуле: . Двумерная функция распределения обладает следующими свойствами: 1. ; 2. – неубывающая функция по каждому из своих аргументов (при фиксированном другом аргументе): , если ; , если . 3. непрерывна слева по каждому из своих аргументов; 4. ; 5. ; 6. , , где и – функции распределения с.в. и соответственно. Значение функции распределения в случае системы двух дискретных с.в. находится суммированием всех вероятностей с индексами , для которых , , то есть . В случае системы непрерывных с.в. ее исчерпывающей характеристикой является плотность вероятности. Определение 1.11.3. Плотностью распределения вероятностей системы двух непрерывных с.в. называется вторая смешанная производная ее функции распределения: . Двумерная плотность распределения обладает следующими свойствами: 1. ; 2. ; 3. , где – произвольная область; 4. ; 5. , . Определение 1.11.4. Случайные величины и называются независимыми, если независимыми являются события и для любых действительных чисел и . В противном случае случайные величины называются зависимыми. Из определения независимости с.в. и вытекает следующее равенство, которое можно положить в основу равносильного определения: . Напомним (см. §1.9), что в случае дискретной системы необходимым и достаточным условием независимости с.в. и является равенство: , выполняющееся для любых , . Необходимым и достаточным условием независимости двух непрерывных с.в. и , образующих систему , является равенство: . Определение 1.11.5. Математическим ожиданием двумерной с.в. называется совокупность двух математических ожиданий и (то есть упорядоченная пара , определяемых равенствами: , , если и – дискретные с.в.; , , если и – непрерывные с.в. Приведем также формулы для вычисления математического ожидания от произведения с.в. и : , если и – дискретные с.в.; , если и – непрерывные с.в. В случае, когда с.в. и независимы, то (см. §1.10). Определение 1.11.6. Дисперсией двумерной с.в. называется совокупность двух дисперсий и (то есть упорядоченная пара , определяемых равенствами: , , если и – дискретные с.в.; , , если и – непрерывные с.в. Определение 1.11.7. Условным законом распределения одной из с.в., входящих в систему называется закон ее распределения, найденный при условии, что другая с.в. приняла определенное значение (или попала в некий интервал). В частности, в случае системы двух дискретных с.в. условным законом распределения с.в. при условии ; называется совокупность вероятностей: , , . Аналогично определяется условный закон распределения дискретной с.в. при условии . Определение 1.11.8. Условная плотность непрерывной с.в. при условии (обозначение определяется равенством: , где . Аналогично определяется условная плотность распределения непрерывной с.в. при условии . Определение 1.11.9(а). Пусть – система дискретных с.в. Условное математическое ожидание дискретной с.в. при условии определяется равенством: , где . Аналогично определяется условное математическое ожидание дискретной с.в. при условии . Определение 1.11.9(б). Пусть – система непрерывных с.в. Условное математическое ожидание непрерывной с.в. при условии определяется равенством: . Аналогично определяется условное математическое ожидание непрерывной с.в. при условии . Для характеристики связи между величинами и служит корреляционный момент (иначе: ковариация ), который вычисляется по формуле: , если и – дискретные с.в.; , если и – непрерывные с.в. Корреляционный момент удобно вычислять по формуле: . Если c.в. и независимы, то (). Таким образом, если , то с.в. и зависимы; в этом случае случайные величины называют коррелированными. В случае , с.в. и называют некоррелированными. Определение 1.11.10. Коэффициент корреляции двух с.в. и есть безразмерная величина, определяемая равенством: , где и – средние квадратические отклонения соответственно величин и . Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости с.в. и . Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами: 1. ; 2. Если и – независимые с.в., то ; 3. С.в. и связаны линейной зависимостью (), тогда и только тогда, когда ;