Понятие случайной величины, функция распределения случайной величины. Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

Понятие случайной величины, функция распределения случайной величины. Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины Довольно часто каждому элементарному исходу опыта из пространства элементарных событий соответствует определенное число. Например, каждой из шести граней игральной кости можно присвоить некоторое число, и тогда при бросании игральной кости можно следить за появлением этих чисел, а не за тем, какая грань выпадет. Пусть – вероятностное пространство и – действительная функция, определенная на . Определение. Действительная функция , определенная на пространстве событий , называется случайной величиной, если для любого множество принадлежит , то есть является событием. В дальнейшем событие будем обозначать в виде . Определение. Пусть – вероятностное пространство и – случайная величина. Вероятность , определенная для всех , называется функцией распределения случайной величины или интегральной функцией распределения случайной величины . Выясним ее свойства. 10. Значения принадлежат отрезку , то есть , . Это следует из того, что есть вероятность события . 20. – неубывающая функция, то есть . 30. Если случайная величина принимает возможное значение с вероятностью , то ее функция распределения имеет в точке разрыв первого рода со скачком . В точке функция непрерывна слева, то есть . Замечание. Свойство 30 функции является следствием ее определения как вероятности . Если же определить соотношением , то можно доказать, что непрерывна справа в каждой точке . 40. Справедливы равенства , . 50. Вероятность того, что случайная величина принимает значения из промежутка , равна . 60. Имеет место равенство . 70. Справедливы формулы: а) ; б) ; в) . 80. Если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку , то Длина отрезка называется размахом случайной величины . Заметим, что любая функция , имеющая свойства 10. , , 20. , , 30. , то есть непрерывна в точке слева, является функцией распределения некоторой случайной величины. Функция распределения полностью определяет вероятностные свойства случайной величины , то есть она задает закон распределения случайной величины. Определение. Закон распределения случайной величины называется дискретным, если она принимает конечное или счетное множество значений таких, что , ; . Таким образом, считается заданным дискретный закон распределения, если указаны значения , , которые может принимать случайная величина , и вероятности событий, состоящих в том, что случайная величина принимает соответствующие значения . Случайная величина называется дискретной, если она имеет дискретный закон распределения. Дискретная случайная величина может быть задана, например, на дискретном и абсолютно непрерывном вероятностных пространствах. К дискретным случайным величинам относятся число дефектных изделий, число телефонных вызовов, число неисправностей в приборе и т. д. Пусть дискретная случайная величина может принимать значения . Обозначим вероятность того, что случайная величина принимает значение , . Таблица называется таблицей распределения вероятностей дискретной случайной величины или законом распределения дискретной случайной величины. В дальнейшем будем предполагать, что . Таблица Распределение дискретной случайной величины задается таблицей. Следовательно, применяя свойства функции , получаем, что при . В точке согласно свойству 30 функция имеет скачок и, значит, для . Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины кусочно-постоянна, имеет скачки в точках разрыва и непрерывна слева в точках разрыва . Определение. Закон распределения случайной величины называется абсолютно непрерывным, если функция распределения этой случайной величины при любом может быть представлена в виде , где – неотрицательная функция, называемая плотностью распределения вероятностей или плотностью вероятности. Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если она имеет абсолютно непрерывный закон распределения. В дальнейшем будем предполагать, что плотность распределения вероятностей непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек. Отсюда, в частности, следует, что функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины есть непрерывная функция. Применяя свойства функции распределения, нетрудно показать, что в случае абсолютно непрерывной случайной величины выполняются равенства ; , , и, следовательно, . Свойства плотности распределения вероятностей следуют из определения функции распределения: 10. , , 20. (условие нормировки), 30. в точках непрерывности функции . Если функция непрерывна в окрестности точки , то, как следует из свойства 30, справедливо равенство , где при . Так же, как и функция распределения, плотность распределения вероятностей полностью определяет распределение случайной величины, а всякая неотрицательная функция, интеграл от которой по всей числовой прямой равен 1, есть плотность распределения вероятностей некоторой случайной величины. Приведем несколько наиболее употребительных законов распределения случайных величин. 1) Биномиальный закон. В схеме испытаний Бернулли функция распределения имеет вид ступенчатой функции с разрывами в точках , причем величина скачка в точке равна (см. пример 2.2.2). 2) Распределение Пуассона. Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает дискретные значения из ряда чисел с вероятностями , где – параметр распределения. Покажем, что . Действительно, . 3) Равномерное распределение. Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке , если ее плотность вероятности имеет вид 4) Нормальное распределение (распределение Гаусса). Случайная величина называется распределенной по нормальному закону или имеет гауссовское распределение, если ее плотность вероятности имеет вид , . Функция распределения этой случайной величины равна . Как видно из этих форму, нормальное распределение зависит от параметров и и полностью определяется ими. Максимум ординаты кривой равен . Отсюда следует, что чем больше , тем шире кривая и тем ниже ее максимум. График плотности вероятности симметричен относительно прямой . В сокращенном виде нормальное распределение записывается в виде или . Вероятность попадания значений нормально распределенной случайной величины в интервал определяется формулой . При , получаем так называемое стандартное (нормированное) нормальное распределение , для которого . 5) Экспоненциальное распределение. Случайная величина называется распределенной по экспоненциальному закону, если плотность распределения вероятностей определяется соотношением Отсюда находим функцию распределения: Математическое ожидание. Дисперсия Функция распределения полностью определяет вероятностные свойства случайной величины. Однако некоторые общие свойства распределения вероятностей случайной величины в достаточной степени описываются небольшим количеством числовых характеристик, среди которых важнейшей характеристикой является математическое ожидание. Пусть случайная величина определена на дискретном вероятностном пространстве , то есть задана функция , на элементарных исходах пространства элементарных событий , причем . Определение. Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины , заданной на дискретном вероятностном пространстве , называется число, обозначаемое (или ) и равное , если ряд абсолютно сходится. Если же ряд не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание случайной величины не существует. Если случайная величина определена в классической схеме, в которой пространство элементарных событий состоит из элементарных равновероятных исходов, то математическое ожидание равно , то есть совпадает со средним арифметическим значений случайной величины . Пусть теперь случайная величина задана на абсолютно непрерывном вероятностном пространстве , где – множество всех точек евклидова пространства с координатами ; ; – квадрируемая область пространства ; – неотрицательная функция такая, что . Определение. Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины , заданной на абсолютно непрерывном вероятностном пространстве , называется число, обозначаемое (или ) и равное , если интеграл абсолютно сходится. Если же интеграл не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание случайной величины не существует. Теорема. Пусть – дискретная случайная величина, для которой , ; . Если ряд сходится абсолютно, то случайная величина имеет математическое ожидание . Теорема. Пусть – абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью вероятности . Если интеграл сходится абсолютно, то математическое ожидание случайной величины существует и . Следующие две теоремы являются обобщением двух предыдущих теорем. Теорема. Пусть – дискретный случайный вектор, а случайная величина – функция от этого случайного вектора. Если , , ; и ряд сходится абсолютно, то случайная величина имеет математическое ожидание . Теорема. Пусть – абсолютно непрерывный случайный вектор с совместной плотностью вероятности , а случайная величина – функция от этого случайного вектора. Если интеграл сходится абсолютно, то математическое ожидание случайной величины существует и . Пусть – дискретная случайная величина с законом распределения, определяемым таблицей а – функция этой случайной величины. Тогда закон распределения случайной величины задан так же таблицей. Тогда математическое ожидание случайной величины определяется формулой . Если же – абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью вероятности , то получаем формулу для математического ожидания случайной величины в виде . Рассмотрим основные свойства математического ожидания. 10. Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события. 20. , где – постоянная. 30. Для любой случайной величины имеем , где – постоянная. 40. Для любых случайных величин и . 50. Для любых независимых случайных величин и . Определение. Математическим ожиданием двумерной случайной величины называется вектор , где и – математические ожидания случайных величин и соответственно. Точка называется центром рассеивания двумерной случайной величины . Для дискретных случайных величин с совместным законом распределения формулы для вычисления математических ожиданий и записываются следующим образом: , . В случае же абсолютно непрерывных случайных величин с совместной плотностью вероятности имеем ; . Условное математическое ожидание случайной величины при условии, что , определяется по формуле в случае дискретных случайных величин и по формуле для абсолютно непрерывных случайных величин, где – условная плотность вероятности случайной величины при условии, что . Если – функция случайной величины , то условное математическое ожидание случайной величины при условии, что , определяется равенством . Условные математические ожидания обладают следующими свойствами: 10. , 20. , , 30. . 40. . Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины. Отклонением случайной величины от своего математического ожидания (среднего значения) называется случайная величина . Часто величина называется центрированной случайной величиной. Определение. Дисперсией или рассеянием случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: . Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением случайной величины и обозначается , так что . Для дискретной случайной величины , принимающей значения с вероятностями , , дисперсия определяется равенством , где . В случае абсолютно непрерывной случайной величины , заданной плотностью вероятности , дисперсия определяется равенством , если этот интеграл существует. Из свойств математического ожидания и определения дисперсии имеем . Отсюда, для дискретной случайной величины получаем , а для абсолютно непрерывной случайной величины дисперсия имеет вид . Замечание. При малой дисперсии большие отклонения случайной величины от ее математического ожидания маловероятны. Равенство означает, что – достоверное событие. Перечислим основные свойства дисперсии. 10. , где – постоянная. 20. , где – постоянная. 30. Дисперсия суммы или разности независимых случайных величин и равна сумме дисперсий этих величин, то есть . В случае двумерной случайной величины дисперсии и характеризуют рассеивание вдоль осей и соответственно. Формулы для вычисления , имеют вид , для дискретного случайного вектора и , . для абсолютно непрерывного случайного вектора . Рассмотрим математическое ожидание и дисперсию случайных величин, заданных некоторыми законами распределения. 1) Для биномиального закона распределения . Здесь – вероятность числа – появлений успеха раз в серии из независимых испытаний Бернулли, – вероятность появления успеха в одном испытании, соответственно вероятность появления неудачи равна . Отсюда , . 2) Пусть случайная величина задана законом распределения Пуассона: , , где – параметр распределения. Тогда , . Таким образом, параметр в законе распределения Пуассона равен . 3) В случае равномерного распределения случайной величины с плотностью вероятности имеем , . 4) Для нормального распределения случайной величины с плотностью вероятности имеем , . Итак, параметр нормального распределения случайной величины равен математическому ожиданию этой величины, а параметр – дисперсии . 5) В случае экспоненциального закона распределения случайной величины с плотностью вероятности будем иметь , .