Экономико-математические методы и модели. Экстремальное регулирование режимов

Вводная лекция Моделирование – источник информации Один из мощных инструментов анализа, которым располагают люди - моделирование. Модель является представлением реального объекта, системы или понятия (идеи) в некоторой форме, отличной от формы их фактического реального существования. Обычно модель служит средством, помогающим в объяснении, понимании или совершенствовании системы. Модель какого-либо объекта может быть или точной копией этого объекта (хотя, возможно, и выполненной в другом масштабе или из другого материала), или отображать некоторые характерные свойства объекта в абстрактной форме, в частности, в виде математической модели. Экономико-математические методы и модели 2 Еще одна особенность задач управления - это необходимость выбора оптимального варианта, или, как принято говорить, необходимость принятия решения о наиболее целесообразной линии поведения. Именно в этом заключается оптимальное управление. Экономико-математические методы и модели 3 Для определения лучшего варианта решения из числа возможных пользуются критерием эффективности, или целевой функцией. Несмотря на сходство в названиях, назначение целевой функции не в том, чтобы заменить цель, а в том только, чтобы выяснить предпочтение тому или иному пути достижения основной цели системы. 4 Экстремальное регулирование режимов. В частном, но на практике очень часто встречающемся случае оптимальный ход процесса может соответствовать максимальному или минимальному (в общем случае говорят экстремальному, т.е. какому-то предельному) значению регулируемой величины. При этом определяется экстремум (максимум или минимум) функции, зависящей от одной или нескольких переменных (параметров процесса). Экономико-математические методы и модели 5 Эффективное руководство предприятием. Для достижения поставленной цели предприятию требуются материалы, оборудование, энергия, квалифицированная рабочая сила и др. Короче говоря, нужны различные ресурсы. Конечно, каждое предприятие такими ресурсами располагает, но общие запасы ресурсов всегда ограничены. Поэтому возникает очень важная задача выбор оптимального варианта, обеспечивающего достижение цели с минимальными затратами ресурсов. Экономико-математические методы и модели 6 Нахождение максимума ничего не меняет по существу, надо только всюду . изменить знаки на противоположные. Функция К является математическим выражением результата действия, направленного на достижение поставленной цели, поэтому ее и называют целевой функцией. Экономико-математические методы и модели 7 Функционирование сложной производственной системы всегда определяется большим числом параметров. Для получения оптимального решения часть этих параметров нужно обратить в максимум, а другие - в минимум. Возникает вопрос: существует ли вообще такое решение, которое наилучшим образом удовлетворяет всем требованиям сразу? На него можно сразу и с полной уверенностью ответить: нет! Такого решения не имеется. Экономико-математические методы и модели 8 Если что-то имеется, то только в тривиальном случае, который в силу своей очевидности не вносит никаких проблем для принятия решения и потому не представляет интереса ни для теории, ни для практики. На практике решение, при котором какой-либо один показатель имеет максимум, как правило, не обращает другие показатели ни в максимум, ни в минимум. Экономико-математические методы и модели 9 Поэтому употребляемые выражения вроде: Достичь максимальной эффективности при минимальных затратах, или получить продукцию наивысшего качества с наименьшей стоимостью при внимательном рассмотрении представляют собой не более чем красивые фразы. Правильнее было бы сказать: Достичь заданного эффекта при минимальных затратах. Или достичь максимального эффекта при заданном уровне затрат. Экономико-математические методы и модели 10 Выбор цели и формулирование критерия ее достижения, т.е. целевой функции, представляют собой труднейшую проблему измерения и сравнения многих разнородных переменных, некоторые из которых в принципе несоизмеримы друг с другом. Так, например, несоизмеримы между собой безопасность и стоимость или качество и простота. Экономико-математические методы и модели 11 В реальных задачах управления производством (как промышленным, так и с/х) нужно учитывать то, что некоторые критерии имеют большую важность, чем другие. Такие критерии можно ранжировать (присваивать им ранг), т.е. устанавливать их относительную значимость и приоритет. В подобных условиях оптимальным приходится считать такое решение, при котором наиболее существенные критерии (имеющие наибольший приоритет) получают максимальные значения. Экономико-математические методы и модели 12 Предельным случаем такого подхода является принцип выделения главного критерия. При этом какой-то один критерий принимается в качестве основного, например, прочность стали, пробег шин, калорийность топлива и т.д. По нему производится оптимизация, к остальным предъявляется только одно условие, чтобы они были не меньше каких-то заданных значений. Экономико-математические методы и модели 13 Когда нужно принимать ответственное решение, т.е. при проектировании сложных технических систем, при управлении промышленным или сельскохозяйственным производством, руководстве военными действиями, большое значение имеет практический опыт, дающий возможность выделить наиболее существенные факторы, охватить ситуацию в целом и выбрать оптимальный путь для достижения поставленной цели. Опыт помогает также найти аналогичные случаи в прошлом и по возможности избежать ошибочных действий. Экономико-математические методы и модели 14 Под опытом подразумевается не только собственная практика лица, принимающего решение, но и чужой опыт, который описан в книгах, монографиях, обобщен в инструкциях, рекомендациях и других руководящих материалах. Поэтому, прежде чем принимать решение, всегда полезно изучить предшествующий опыт, расспросить знающих людей, посмотреть, как поступали в подобных случаях раньше. Естественно, что когда решение уже апробировано, т.е. из своего или чужого опыта известно, какое именно решение наилучшим образом удовлетворяет поставленным целям, проблемы принятия решения и оптимального управления попросту не существует - решение наперед известно. Экономико-математические методы и модели 15 Однако на самом деле практически никогда не бывает совершенно одинаковых ситуаций, поэтому принимать решения и осуществлять управление всегда приходится в условиях неполной и недостаточной информации. В таких случаях недостающую информацию пытаются получить, используя догадки, предположения, результаты научных исследований и особенно изучение на моделях. Научно обоснованная теория управления фактически представляет собой набор методов пополнения недостающей информации об управляемом процессе, а точнее говоря, о том, как поведет себя объект управления при выбранном воздействии. Экономико-математические методы и модели 16 Получается, что для успешного управления надо предсказывать поведение системы в будущем. Человечеству всегда хотелось знать будущее, поэтому с древнейших времен создавались различные методы предсказаний. Экономико-математические методы и модели 17 Если раньше основная задача науки была в том, чтобы понять поведение изучаемой системы, то теперь очень актуальной является возможность оценить различные стратегии, обеспечивающие достижение цели. Экономико-математические методы и модели 18 Стремление получить как можно больше информации об управляемых объектах и процессах, включая и особенности их будущего поведения, может быть удовлетворено только одним способом: путем исследования интересующих нас свойств на моделях. Модель дает способ представления реального объекта, который позволяет легко и с малыми затратами ресурсов исследовать некоторые его свойства. Только модель позволяет исследовать не все свойства сразу, а лишь те из них, которые наиболее существенны при данном рассмотрении. Поэтому модели позволяют сформулировать упрощенное представление о системе и получить нужные результаты намного проще и быстрее, чем при изучении самой системы. Экономико-математические методы и модели 19 Самым общим методом научных исследований является использование математического моделирования. Математической моделью называют формальную зависимость между значениями параметров на входе моделируемого объекта или процесса и выходными параметрами. При математическом моделировании отвлекаются (абстрагируются) от конкретной физической природы объекта и происходящих в нем процессов и рассматривают только преобразование входных величин в выходные. Экономико-математические методы и модели 20 Анализировать математические модели проще и быстрее, чем экспериментально определять поведение реального объекта в различных режимах работы. Кроме того, анализ математической модели позволяет выделить наиболее существенные свойства данной системы, на которые надо обратить особое внимание при принятии решения. Экономико-математические методы и модели 21 Дополнительное преимущество состоит в том, что при математическом моделировании не представляет труда испытать исследуемую систему в идеальных условиях или, наоборот, в экстремальных режимах, которые для реальных объектов или процессов требуют больших затрат или связаны с риском. Экономико-математические методы и модели 22