Прямоугольные треугольники

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие прямоугольного треугольника

Вначале рассмотрим понятие произвольного треугольника.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.

Теперь введем, непосредственно, понятие прямоугольного треугольника.

Определение 4

Треугольник будем называть прямоугольным, если один из его углов равняется $90^\circ$ .

При этом стороны, которые прилегают к прямому углу, будут называться катетами, а третья сторона – гипотенузой (рис. 2).

Как и для любого треугольника, для прямоугольного справедлива следующая теорема:

«Прямоугольные треугольники» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Теорема 1

Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется $180^\circ$ .

Свойства прямоугольного треугольника

Сформулируем в виде теорем основные свойства для прямоугольных треугольников.

Теорема 2

Острые углы в произвольном прямоугольном треугольнике в сумме дают $90^\circ$ .

Доказательство.

Обозначим острые углы треугольника через $α$ и $β$ . Тогда, так как наш треугольник прямоугольный, то, по теореме 1, получим

$α+β+90^\circ=180^\circ$

$α+β=90^\circ$

Теорема доказана.

Теорема 3

Если катет в прямоугольном треугольнике находится напротив острого угла, равного $30^\circ$ , то такой катет будет равняться половине гипотенузы.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник $DAB$ , в котором $∠A=90^\circ$ , а $∠B=30^\circ$ . Достроим к нему треугольник $ABC$ , который будет равен треугольнику $DAB$ (рис. 3).

Так как $∠A=90^\circ$ , а $∠B=30^\circ$ , то, по теореме 1, получим

$∠D=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ$

Аналогично, $∠C=60^\circ$ .

Также видим, что $∠B=∠DBA+∠CBA=30^\circ+30^\circ=60^\circ$ .

Получаем, что треугольник $DBC$ равносторонний, следовательно, $DC=AB$ . Значит, так как $DA=AC$ , то $DA=\frac{1}{2} AB$ .

Теорема доказана.

Справедлива также и обратная теорема:

Теорема 4

Если катет в прямоугольном треугольнике будет равняться половине гипотенузы, то угол, который находится напротив него, равняется $30^\circ$ .

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник $DAB$ , в котором $∠A=90^\circ$ и $DA=\frac{1}{2} AB$ . Достроим к нему треугольник $ABC$ , который будет равен треугольнику $DAB$ как на рисунке 3.

Так как $DA=\frac{1}{2} AB$ , а $DA=AC$ , то получим, что $DC=DB=CB$ .

Получаем, что треугольник $DBC$ равносторонний, следовательно, все углы в нем равняются по $60^\circ$ . Значит, в исходном треугольнике, $∠B=30^\circ$ .

Теорема доказана.

Признаки прямоугольных треугольников

Введем теперь теоремы, которые называются признаками прямоугольного треугольника. В рамках этой статьи их доказательства рассматривать не будем.

Теорема 5

Если катеты двух прямоугольных треугольников попарно равны, то и эти треугольники равны.

Теорема 6

Если один из катетов прямоугольного треугольника, а также острый угол к нему прилегающий равняются одному катету и острому углу, к нему прилегающего другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.

Теорема 7

Если гипотенуза прямоугольного треугольника, а также его острый угол равняются гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.

Теорема 8

Если гипотенуза прямоугольного треугольника, а также его катет равняются гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.