Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Прямоугольные треугольники

Понятие прямоугольного треугольника

Вначале рассмотрим понятие произвольного треугольника.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.

Теперь введем, непосредственно, понятие прямоугольного треугольника.

Определение 4

Треугольник будем называть прямоугольным, если один из его углов равняется 90.

При этом стороны, которые прилегают к прямому углу, будут называться катетами, а третья сторона – гипотенузой (рис. 2).

Как и для любого треугольника, для прямоугольного справедлива следующая теорема:

«Прямоугольные треугольники» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Теорема 1

Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется 180.

Свойства прямоугольного треугольника

Сформулируем в виде теорем основные свойства для прямоугольных треугольников.

Теорема 2

Острые углы в произвольном прямоугольном треугольнике в сумме дают 90.

Доказательство.

Обозначим острые углы треугольника через α и β. Тогда, так как наш треугольник прямоугольный, то, по теореме 1, получим

α+β+90=180

α+β=90

Теорема доказана.

Теорема 3

Если катет в прямоугольном треугольнике находится напротив острого угла, равного 30, то такой катет будет равняться половине гипотенузы.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник DAB, в котором A=90, а B=30. Достроим к нему треугольник ABC, который будет равен треугольнику DAB (рис. 3).

Так как A=90, а B=30, то, по теореме 1, получим

D=1809030=60

Аналогично, C=60.

Также видим, что B=DBA+CBA=30+30=60.

Получаем, что треугольник DBC равносторонний, следовательно, DC=AB. Значит, так как DA=AC, то DA=12AB.

Теорема доказана.

Справедлива также и обратная теорема:

Теорема 4

Если катет в прямоугольном треугольнике будет равняться половине гипотенузы, то угол, который находится напротив него, равняется 30.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник DAB, в котором A=90 и DA=12AB. Достроим к нему треугольник ABC, который будет равен треугольнику DAB как на рисунке 3.

Так как DA=12AB, а DA=AC, то получим, что DC=DB=CB.

Получаем, что треугольник DBC равносторонний, следовательно, все углы в нем равняются по 60. Значит, в исходном треугольнике, B=30.

Теорема доказана.

Признаки прямоугольных треугольников

Введем теперь теоремы, которые называются признаками прямоугольного треугольника. В рамках этой статьи их доказательства рассматривать не будем.

Теорема 5

Если катеты двух прямоугольных треугольников попарно равны, то и эти треугольники равны.

Теорема 6

Если один из катетов прямоугольного треугольника, а также острый угол к нему прилегающий равняются одному катету и острому углу, к нему прилегающего другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.

Теорема 7

Если гипотенуза прямоугольного треугольника, а также его острый угол равняются гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.

Теорема 8

Если гипотенуза прямоугольного треугольника, а также его катет равняются гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.

Пример задачи

Пример 1

Найти периметр равностороннего треугольника, если его высота равняется 13см.

Решение.

Изобразим рисунок по условию задачи:

Так как в равнобедренном треугольнике (каким является и равносторонний) высота также является медианой, то AH=HB.

Так как в равнобедренном треугольнике высота также является биссектрисой, то ACH=30.

По теореме 3, получим, что

AH=12CH=6,5

P=AC+CB+HB+AH=6AH=39

Ответ: 39.

Дата последнего обновления статьи: 12.07.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Прямоугольные треугольники"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant