Понятие прямоугольного треугольника
Вначале рассмотрим понятие произвольного треугольника.
Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).
Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.
Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.
Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.
Теперь введем, непосредственно, понятие прямоугольного треугольника.
Треугольник будем называть прямоугольным, если один из его углов равняется .
При этом стороны, которые прилегают к прямому углу, будут называться катетами, а третья сторона – гипотенузой (рис. 2).
Как и для любого треугольника, для прямоугольного справедлива следующая теорема:
Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется .
Свойства прямоугольного треугольника
Сформулируем в виде теорем основные свойства для прямоугольных треугольников.
Острые углы в произвольном прямоугольном треугольнике в сумме дают .
Доказательство.
Обозначим острые углы треугольника через и . Тогда, так как наш треугольник прямоугольный, то, по теореме 1, получим
Теорема доказана.
Если катет в прямоугольном треугольнике находится напротив острого угла, равного , то такой катет будет равняться половине гипотенузы.
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольный треугольник , в котором , а . Достроим к нему треугольник , который будет равен треугольнику (рис. 3).
Так как , а , то, по теореме 1, получим
Аналогично, .
Также видим, что .
Получаем, что треугольник равносторонний, следовательно, . Значит, так как , то .
Теорема доказана.
Справедлива также и обратная теорема:
Если катет в прямоугольном треугольнике будет равняться половине гипотенузы, то угол, который находится напротив него, равняется .
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольный треугольник , в котором и . Достроим к нему треугольник , который будет равен треугольнику как на рисунке 3.
Так как , а , то получим, что .
Получаем, что треугольник равносторонний, следовательно, все углы в нем равняются по . Значит, в исходном треугольнике, .
Теорема доказана.
Признаки прямоугольных треугольников
Введем теперь теоремы, которые называются признаками прямоугольного треугольника. В рамках этой статьи их доказательства рассматривать не будем.
Если катеты двух прямоугольных треугольников попарно равны, то и эти треугольники равны.
Если один из катетов прямоугольного треугольника, а также острый угол к нему прилегающий равняются одному катету и острому углу, к нему прилегающего другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.
Если гипотенуза прямоугольного треугольника, а также его острый угол равняются гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.
Если гипотенуза прямоугольного треугольника, а также его катет равняются гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.
Пример задачи
Найти периметр равностороннего треугольника, если его высота равняется .
Решение.
Изобразим рисунок по условию задачи:
Так как в равнобедренном треугольнике (каким является и равносторонний) высота также является медианой, то .
Так как в равнобедренном треугольнике высота также является биссектрисой, то .
По теореме 3, получим, что
Ответ: .