Понятие прямоугольного треугольника
Вначале рассмотрим понятие произвольного треугольника.
Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).
Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.
Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.
Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.
Теперь введем, непосредственно, понятие прямоугольного треугольника.
Треугольник будем называть прямоугольным, если один из его углов равняется 90∘.
При этом стороны, которые прилегают к прямому углу, будут называться катетами, а третья сторона – гипотенузой (рис. 2).
Как и для любого треугольника, для прямоугольного справедлива следующая теорема:
Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется 180∘.
Свойства прямоугольного треугольника
Сформулируем в виде теорем основные свойства для прямоугольных треугольников.
Острые углы в произвольном прямоугольном треугольнике в сумме дают 90∘.
Доказательство.
Обозначим острые углы треугольника через α и β. Тогда, так как наш треугольник прямоугольный, то, по теореме 1, получим
α+β+90∘=180∘
α+β=90∘
Теорема доказана.
Если катет в прямоугольном треугольнике находится напротив острого угла, равного 30∘, то такой катет будет равняться половине гипотенузы.
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольный треугольник DAB, в котором ∠A=90∘, а ∠B=30∘. Достроим к нему треугольник ABC, который будет равен треугольнику DAB (рис. 3).
Так как ∠A=90∘, а ∠B=30∘, то, по теореме 1, получим
∠D=180∘−90∘−30∘=60∘
Аналогично, ∠C=60∘.
Также видим, что ∠B=∠DBA+∠CBA=30∘+30∘=60∘.
Получаем, что треугольник DBC равносторонний, следовательно, DC=AB. Значит, так как DA=AC, то DA=12AB.
Теорема доказана.
Справедлива также и обратная теорема:
Если катет в прямоугольном треугольнике будет равняться половине гипотенузы, то угол, который находится напротив него, равняется 30∘.
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольный треугольник DAB, в котором ∠A=90∘ и DA=12AB. Достроим к нему треугольник ABC, который будет равен треугольнику DAB как на рисунке 3.
Так как DA=12AB, а DA=AC, то получим, что DC=DB=CB.
Получаем, что треугольник DBC равносторонний, следовательно, все углы в нем равняются по 60∘. Значит, в исходном треугольнике, ∠B=30∘.
Теорема доказана.
Признаки прямоугольных треугольников
Введем теперь теоремы, которые называются признаками прямоугольного треугольника. В рамках этой статьи их доказательства рассматривать не будем.
Если катеты двух прямоугольных треугольников попарно равны, то и эти треугольники равны.
Если один из катетов прямоугольного треугольника, а также острый угол к нему прилегающий равняются одному катету и острому углу, к нему прилегающего другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.
Если гипотенуза прямоугольного треугольника, а также его острый угол равняются гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.
Если гипотенуза прямоугольного треугольника, а также его катет равняются гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.
Пример задачи
Найти периметр равностороннего треугольника, если его высота равняется 13см.
Решение.
Изобразим рисунок по условию задачи:
Так как в равнобедренном треугольнике (каким является и равносторонний) высота также является медианой, то AH=HB.
Так как в равнобедренном треугольнике высота также является биссектрисой, то ∠ACH=30∘.
По теореме 3, получим, что
AH=12CH=6,5
P=AC+CB+HB+AH=6AH=39
Ответ: 39.