Площади
История нахождения площадей фигур начинается еще с древнего Вавилона. Уже тогда вычисляли площади прямоугольника, а древние египтяне пользовались методами вычисления площадей различных фигур, похожими на наши методы.
В своих книгах «Начала» известный древнегреческий математик Евклид описывал достаточно большое число способов вычисления площадей многих геометрических фигур. Первые рукописи на Руси, в которых содержатся геометрические сведения, были написаны в $XVI$ веке. В них описаны правила нахождения площадей фигур различных форм.
Сегодня с помощью современных методов можно найти площадь любой фигуры с большой точностью.
Рассмотрим одну из простейших фигур -- прямоугольник -- и формулу нахождения его площади.
Формула площади прямоугольника
Рассмотрим фигуру (рис. 1), которая состоит из $8$ квадратов со сторонами по $1$ см. Площадь одного квадрата со стороной $1$ см называют сантиметром квадратным и записывают $1\ см^2$.
Площадь данной фигуры (рис. 1) будет равна $8\ см^2$.
Площадь фигуры, которую можно разбить на несколько квадратов со стороной $1\ см$ (например, $p$), будет равна $p\ см^2$.
Другими словами, площадь фигуры будет равна стольким $см^2$, на сколько квадратов со стороной $1\ см$ можно разбить эту фигуру.
Рассмотрим прямоугольник (рис. 2), который состоит из $3$ полос, каждая из которых разбита на $5$ квадратов со стороной $1\ см$. весь прямоугольник состоит из $5\cdot 3=15$ таких квадратов, и его площадь равна $15\ см^2$.
Рисунок 1.
Рисунок 2.
Площадь фигур принято обозначать буквой $S$.
Для нахождения площади прямоугольника нужно его длину умножить на ширину.
Если обозначить буквой $a$ его длину, а буквой $b$ - ширину, то формула площади прямоугольника будет иметь вид:
Фигуры называют равными, если при наложении их одна на другую фигуры совпадут. Равные фигуры имеют равные площади и равные периметры.
Площадь фигуры можно найти как сумму площадей ее частей.
Например, на рисунке $3$ прямоугольник $ABCD$ разбит на две части линией $KLMN$. Площадь одной части равна $12\ см^2$, а другой - $9\ см^2$. Тогда площадь прямоугольника $ABCD$ будет равна $12\ см^2+9\ см^2=21\ см^2$. Найдем площадь прямоугольника по формуле:
\[S=a\cdot b=3\cdot 7=21\ см^2.\]Как видим, площади, найденные обоими способами, равны.
Рисунок 3.
Рисунок 4.
Отрезок $AC$ делит прямоугольник на два равных треугольника: $ABC$ и $ADC$. Значит площадь каждого из треугольников равна половине площади всего прямоугольника.
Прямоугольник с равными сторонами называется квадратом.
Если обозначить сторону квадрата буквой $a$, то площадь квадрата будет находится по формуле:
\[S=a\cdot a=a^2.\]Отсюда и название квадрат числа $a$.
Например, если сторона квадрата равна $5$ см, то его площадь:
\[S=a^2=5^2\ см^2=25\ см^2.\]Объемы
С развитием торговли и строительства еще во времена древних цивилизаций появилась необходимость в нахождении объемов. В математике существует раздел геометрии, который занимается изучением пространственных фигур, называемый стереометрией. Упоминания об этом отдельном направлении математики встречались уже в $IV$ веке до н.э.
Древними математиками был выведен способ вычисления объема несложных фигур -- куба и параллелепипеда. Все сооружения тех времен были именно такой формы. Но в дальнейшем были найдены способы вычисления объема фигур более сложных форм.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Если наполнить формочку влажным песком и потом перевернуть, то получим объемную фигуру, которая характеризуется объемом. Если сделать таких фигур несколько с помощью одной и той же формочки, то получатся фигуры, которые имеют одинаковый объем. Если наполнить формочку водой, то объем воды и объем фигуры из песка также будут равными.
Рисунок 5.
Сравнить объемы двух сосудов можно, наполнив один водой и перелив ее во второй сосуд. Если второй сосуд окажется полностью заполненным, то сосуды имеют равные объемы. Если при этом в первой вода останется, то объем первого сосуда больше объема второго. Если при переливании воды из первого сосуда не удается полностью заполнить второй сосуд, значит объем первого сосуда меньше объема второго.
Объем измеряется с помощью следующих единиц:
$мм^3$ -- миллиметр кубический,
$см^3$ -- сантиметр кубический,
$дм^3$ -- дециметр кубический,
$м^3$ -- метр кубический,
$км^3$ -- километр кубический.
Например, сантиметр кубический -- это объем куба с ребром $1\ см$ (рис.~6).
Дециметр кубический еще называют литром.
\[1\ л=1\ дм^3.\]На рисунке $7$ фигура состоит из $4$ кубиков с ребром $1\ см$. объем такой фигуры равен $4\ см^3$.
Рисунок 6.
Рисунок 7.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед длиной $4$ см, шириной $3$ см и высотой $2$ см (рис. 8, а). Разделим его на $2$ слоя толщиной $1$ см (рис. 8, б).
Разделим каждый из слоев на $3$ столбика длиной $4$ см (рис. 8, в), а каждый столбик -- на $4$ кубика с ребром $1$ см (рис. 8, г).
Рисунок 8.
Объем каждого кубика равен $1\ см^3$, объем каждого столбика -- $4\cdot 1\ см^3=4\ см^3$, объем каждого слоя -- $3\cdot 4\ см^3$. Тогда объем всего прямоугольного параллелепипеда -- $2\cdot \left(4\cdot 3\right)\ см^3=24\ см^3$.
Таким образом, для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда нужно его длину умножить на ширину и на высоту.
Объем фигуры принято обозначать буквой $V$.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда:
Куб -- прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
Если ребро куба равно $a$, то формула объема куба будет иметь вид:
\[V=a\cdot a\cdot a=a^3.\]Отсюда и название куб числа $a$.
