Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Площади и объемы

Площади

История нахождения площадей фигур начинается еще с древнего Вавилона. Уже тогда вычисляли площади прямоугольника, а древние египтяне пользовались методами вычисления площадей различных фигур, похожими на наши методы.

В своих книгах «Начала» известный древнегреческий математик Евклид описывал достаточно большое число способов вычисления площадей многих геометрических фигур. Первые рукописи на Руси, в которых содержатся геометрические сведения, были написаны в XVI веке. В них описаны правила нахождения площадей фигур различных форм.

Сегодня с помощью современных методов можно найти площадь любой фигуры с большой точностью.

Рассмотрим одну из простейших фигур -- прямоугольник -- и формулу нахождения его площади.

Формула площади прямоугольника

Рассмотрим фигуру (рис. 1), которая состоит из 8 квадратов со сторонами по 1 см. Площадь одного квадрата со стороной 1 см называют сантиметром квадратным и записывают 1 см2см.

Площадь данной фигуры (рис. 1) будет равна 8 см2см.

Площадь фигуры, которую можно разбить на несколько квадратов со стороной 1 смсм (например, p), будет равна p см2см.

Другими словами, площадь фигуры будет равна стольким см2см, на сколько квадратов со стороной 1 смсм можно разбить эту фигуру.

Рассмотрим прямоугольник (рис. 2), который состоит из 3 полос, каждая из которых разбита на 5 квадратов со стороной 1 смсм. весь прямоугольник состоит из 53=15 таких квадратов, и его площадь равна 15 см2см.



Рисунок 1.



Рисунок 2.

«Площади и объемы» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Площадь фигур принято обозначать буквой S.

Для нахождения площади прямоугольника нужно его длину умножить на ширину.

Если обозначить буквой a его длину, а буквой b - ширину, то формула площади прямоугольника будет иметь вид:

Определение 1

Фигуры называют равными, если при наложении их одна на другую фигуры совпадут. Равные фигуры имеют равные площади и равные периметры.

Площадь фигуры можно найти как сумму площадей ее частей.

Пример 1

Например, на рисунке 3 прямоугольник ABCD разбит на две части линией KLMN. Площадь одной части равна 12 см2см, а другой - 9 см2. Тогда площадь прямоугольника ABCD будет равна 12 см2+9 см2=21 см2. Найдем площадь прямоугольника по формуле:

S=ab=37=21 см2.

Как видим, площади, найденные обоими способами, равны.



Рисунок 3.



Рисунок 4.

Отрезок AC делит прямоугольник на два равных треугольника: ABC и ADC. Значит площадь каждого из треугольников равна половине площади всего прямоугольника.

Определение 2

Прямоугольник с равными сторонами называется квадратом.

Если обозначить сторону квадрата буквой a, то площадь квадрата будет находится по формуле:

S=aa=a2.

Отсюда и название квадрат числа a.

Пример 2

Например, если сторона квадрата равна 5 см, то его площадь:

S=a2=52 см2=25 см2.

Объемы

С развитием торговли и строительства еще во времена древних цивилизаций появилась необходимость в нахождении объемов. В математике существует раздел геометрии, который занимается изучением пространственных фигур, называемый стереометрией. Упоминания об этом отдельном направлении математики встречались уже в IV веке до н.э.

Древними математиками был выведен способ вычисления объема несложных фигур -- куба и параллелепипеда. Все сооружения тех времен были именно такой формы. Но в дальнейшем были найдены способы вычисления объема фигур более сложных форм.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Если наполнить формочку влажным песком и потом перевернуть, то получим объемную фигуру, которая характеризуется объемом. Если сделать таких фигур несколько с помощью одной и той же формочки, то получатся фигуры, которые имеют одинаковый объем. Если наполнить формочку водой, то объем воды и объем фигуры из песка также будут равными.



Рисунок 5.

Сравнить объемы двух сосудов можно, наполнив один водой и перелив ее во второй сосуд. Если второй сосуд окажется полностью заполненным, то сосуды имеют равные объемы. Если при этом в первой вода останется, то объем первого сосуда больше объема второго. Если при переливании воды из первого сосуда не удается полностью заполнить второй сосуд, значит объем первого сосуда меньше объема второго.

Объем измеряется с помощью следующих единиц:

мм3 -- миллиметр кубический,

см3 -- сантиметр кубический,

дм3 -- дециметр кубический,

м3 -- метр кубический,

км3 -- километр кубический.

Пример 3

Например, сантиметр кубический -- это объем куба с ребром 1 см (рис.~6).

Замечание 1

Дециметр кубический еще называют литром.

1 л=1 дм3.

На рисунке 7 фигура состоит из 4 кубиков с ребром 1 см. объем такой фигуры равен 4 см3.



Рисунок 6.



Рисунок 7.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед длиной 4 см, шириной 3 см и высотой 2 см (рис. 8, а). Разделим его на 2 слоя толщиной 1 см (рис. 8, б).

Разделим каждый из слоев на 3 столбика длиной 4 см (рис. 8, в), а каждый столбик -- на 4 кубика с ребром 1 см (рис. 8, г).



Рисунок 8.

Объем каждого кубика равен 1 см3, объем каждого столбика -- 41 см3=4 см3, объем каждого слоя -- 34 см3. Тогда объем всего прямоугольного параллелепипеда -- 2(43) см3=24 см3.

Таким образом, для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда нужно его длину умножить на ширину и на высоту.

Объем фигуры принято обозначать буквой V.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:

Определение 3

Куб -- прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

Если ребро куба равно a, то формула объема куба будет иметь вид:

V=aaa=a3.

Отсюда и название куб числа a.

Дата последнего обновления статьи: 24.05.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Площади и объемы"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant