Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.
Математически это можно записать следующим образом
где сторона параллелограмма, - высота, проведенная к этой стороне.
Доказательство.
Пусть нам дан параллелограмм , у которого . Проведем высоты и (рис. 1).
Рисунок 1.
Очевидно, что фигура -- прямоугольник.
Следовательно, так как , по признаку равенства треугольников . Тогда
Значит по теореме о площади прямоугольника:
Теорема доказана.
Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.
Математически это можно записать следующим образом
где стороны параллелограмма, -- угол между ними.
Доказательство.
Пусть нам дан параллелограмм , у которого . Проведем высоту (рис. 2).
Рисунок 2.
По определению синуса, получим
Следовательно
Значит, по теореме :
Теорема доказана.
Площадь треугольника
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.
Математически это можно записать следующим образом
где сторона треугольника, - высота, проведенная к этой стороне.
Доказательство.
Пусть нам дан треугольник , у которого . Проведем высоту . Достроим его до параллелограмма (рис. 3).
Рисунок 3.
Очевидно, что по признаку равенства треугольников . Тогда
Значит по теореме :
Теорема доказана.
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.
Математически это можно записать следующим образом
где стороны треугольника, -- угол между ними.
Доказательство.
Пусть нам дан треугольник , у которого . Проведем высоту . Достроим его до параллелограмма (рис. 3).
Очевидно, что по признаку равенства треугольников . Тогда
Значит по теореме :
Теорема доказана.
Площадь трапеции
Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин его оснований, на его высоту.
Математически это можно записать следующим образом
Доказательство.
Пусть нам дана трапеция , где . Проведем в ней высоты и , а также диагональ (рис. 4).
Рисунок 4.
По теореме , получим
Тогда
Теорема доказана.
Пример задачи
Найти площадь равностороннего треугольника, если длина его стороны равняется
Решение.
Так как треугольник равносторонний, то все его углы равняются .
Тогда, по теореме , имеем
Ответ: .
Заметим, что результат этой задачи можно применять при нахождении площади любого равностороннего треугольника с данной стороной.