Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

Площадь параллелограмма

Теорема 1

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.

Математически это можно записать следующим образом

S=ah

где a сторона параллелограмма, h - высота, проведенная к этой стороне.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм ABCD, у которого AD=BC=a. Проведем высоты DF и AE (рис. 1).



Рисунок 1.

Очевидно, что фигура FDAE -- прямоугольник.

BAE=900A, 
CDF=D900=1800A900=900A=BAE

Следовательно, так как CD=AB, DF=AE=h, по I признаку равенства треугольников BAE=CDF. Тогда

SFDAE=SABCDSCDF+SBAE=SABCDSCDF+SCDF=SABCD

Значит по теореме о площади прямоугольника:

SABCD=SFDAE=ah

Теорема доказана.

Теорема 2

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.

Математически это можно записать следующим образом

S=absinα

где a, b стороны параллелограмма, α -- угол между ними.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм ABCD, у которого BC=a, CD=b, C=α. Проведем высоту DF=h (рис. 2).



Рисунок 2.

По определению синуса, получим

sinα=DFCD=hb

Следовательно

h=bsinα

Значит, по теореме 1:

S=ah=absinα

Теорема доказана.

Площадь треугольника

Теорема 3

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.

Математически это можно записать следующим образом

S=12ah

где a сторона треугольника, h - высота, проведенная к этой стороне.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник ABC, у которого AB=a. Проведем высоту CH=h. Достроим его до параллелограмма ABCD (рис. 3).



Рисунок 3.

Очевидно, что по I признаку равенства треугольников ACB=CDB. Тогда

SABC=12SABCD

Значит по теореме 1:

SABC=12ah

Теорема доказана.

«Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Теорема 4

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.

Математически это можно записать следующим образом

S=12absinα

где a, b стороны треугольника, α -- угол между ними.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник ABC, у которого AB=a. Проведем высоту CH=h. Достроим его до параллелограмма ABCD (рис. 3).

Очевидно, что по I признаку равенства треугольников ACB=CDB. Тогда

SABC=12SABCD

Значит по теореме 1:

SABC=12absinα

Теорема доказана.

Площадь трапеции

Теорема 5

Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин его оснований, на его высоту.

Математически это можно записать следующим образом

S=12(a+b)h

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция ABCK, где AK=a, BC=b. Проведем в ней высоты BM=h и KP=h, а также диагональ BK (рис. 4).



Рисунок 4.

SABCK=SABK+SBCK

По теореме 3, получим

SABK=12AKBM=12ah, SBCK=12BCKP=12bh

Тогда

SABCK=12ah+12bh=12(a+b)h

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 1

Найти площадь равностороннего треугольника, если длина его стороны равняется a.

Решение.

Так как треугольник равносторонний, то все его углы равняются 600.

Тогда, по теореме 4, имеем

S=12aasin600=a234

Ответ: a234.

Заметим, что результат этой задачи можно применять при нахождении площади любого равностороннего треугольника с данной стороной.

Дата последнего обновления статьи: 19.05.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant