Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.
Математически это можно записать следующим образом
S=ahгде a сторона параллелограмма, h - высота, проведенная к этой стороне.
Доказательство.
Пусть нам дан параллелограмм ABCD, у которого AD=BC=a. Проведем высоты DF и AE (рис. 1).
Рисунок 1.
Очевидно, что фигура FDAE -- прямоугольник.
∠BAE=900−∠A,Следовательно, так как CD=AB, DF=AE=h, по I признаку равенства треугольников △BAE=△CDF. Тогда
SFDAE=SABCD−SCDF+SBAE=SABCD−SCDF+SCDF=SABCDЗначит по теореме о площади прямоугольника:
SABCD=SFDAE=ahТеорема доказана.
Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.
Математически это можно записать следующим образом
S=absinαгде a, b стороны параллелограмма, α -- угол между ними.
Доказательство.
Пусть нам дан параллелограмм ABCD, у которого BC=a, CD=b, ∠C=α. Проведем высоту DF=h (рис. 2).
Рисунок 2.
По определению синуса, получим
sinα=DFCD=hbСледовательно
h=bsinαЗначит, по теореме 1:
S=ah=absinαТеорема доказана.
Площадь треугольника
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.
Математически это можно записать следующим образом
S=12ahгде a сторона треугольника, h - высота, проведенная к этой стороне.
Доказательство.
Пусть нам дан треугольник ABC, у которого AB=a. Проведем высоту CH=h. Достроим его до параллелограмма ABCD (рис. 3).
Рисунок 3.
Очевидно, что по I признаку равенства треугольников △ACB=△CDB. Тогда
SABC=12SABCDЗначит по теореме 1:
SABC=12ahТеорема доказана.
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.
Математически это можно записать следующим образом
S=12absinαгде a, b стороны треугольника, α -- угол между ними.
Доказательство.
Пусть нам дан треугольник ABC, у которого AB=a. Проведем высоту CH=h. Достроим его до параллелограмма ABCD (рис. 3).
Очевидно, что по I признаку равенства треугольников △ACB=△CDB. Тогда
SABC=12SABCDЗначит по теореме 1:
SABC=12absinαТеорема доказана.
Площадь трапеции
Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин его оснований, на его высоту.
Математически это можно записать следующим образом
S=12(a+b)hДоказательство.
Пусть нам дана трапеция ABCK, где AK=a, BC=b. Проведем в ней высоты BM=h и KP=h, а также диагональ BK (рис. 4).
Рисунок 4.
По теореме 3, получим
SABK=12AK⋅BM=12ah, SBCK=12BC⋅KP=12bhТогда
SABCK=12ah+12bh=12(a+b)hТеорема доказана.
Пример задачи
Найти площадь равностороннего треугольника, если длина его стороны равняется a.
Решение.
Так как треугольник равносторонний, то все его углы равняются 600.
Тогда, по теореме 4, имеем
S=12a⋅a⋅sin600=a2√34Ответ: a2√34.
Заметим, что результат этой задачи можно применять при нахождении площади любого равностороннего треугольника с данной стороной.