Сущность координатного метода для решения геометрических задач
Сущностью решения задач с помощью координатного метода состоит в том, чтоб ввести удобную нам в том или ином случае систему координат и переписать все данные с помощью него. После этого все неизвестные величины или доказательства проводятся с помощью этой системы. Как ввести координаты точек в любой системе координат, было нами рассмотрено в другой статье – здесь мы на этом останавливаться не будем.
Введем основные утверждения, которые используются в координатном методе.
Утверждение 1: Координаты вектора будут определяться разностью соответственных координат конца данного вектора и его же начала.
Утверждение 2: Координаты середины отрезка будут определяться как полусумма соответственных координат его границ.
Утверждение 3: Длина любого вектора \overline{δ} с данными координатами (δ_1,δ_2,δ_3) будет определяться формулой
|\overline{δ}|=\sqrt{δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2}
Утверждение 4: Расстояние между двумя любыми точками, заданными координатами (δ_1,δ_2,δ_3) и (β_1,β_2,β_3) будет определяться формулой
d=\sqrt{(δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2}
Схема решения геометрических задач с использованием координатного метода
Для решения геометрических задач с помощью координатного метода лучше всего пользоваться данной схемой:
-
Провести анализ того, что дано в задаче:
- Задать наиболее подходящую для задачи систему координат;
- Математически записывается условие задачи, вопрос задачи, строится чертеж по данной задаче.
-
Все данные задачи записать в координатах выбранной системы координат.
- Составить необходимые соотношения из условия задачи, а также связать эти соотношения с тем, что необходимо найти (доказать в задаче).
- Полученный результат перевести на язык геометрии.
Примеры задач, решаемые координатным методом
Основными задачами, приводящими к координатному методу можно выделить следующие задачи (их решения здесь приводить не будем):
- Задачи на нахождение координат вектора по его концу и началу.
- Задачи, связанные с делением отрезка в каком-либо отношении.
- Доказательство того, что три точки лежат на одной прямой или, что четыре точки лежат в одной плоскости.
- Задачи на нахождение расстояния между двумя данными точками.
- Задачи на нахождение объемов и площадей геометрических фигур.
Результаты решения первой и четвертой задачи приведены нами как основные утверждения выше и довольно часто используются для решения других задач с помощью координатного метода.
Примеры задач на применение метода координат
Найти боковую сторону правильной пирамиды, у которого высота равняется 3 см, если сторона основания равняется 4 см.
Решение.
Пусть нам дана правильная пирамида ABCDS, высота которой – SO. Введем систему координат, как на рисунке 1.
Так как точка A - центр построенной нами системы координат, то
A=(0,0,0)
Так как точки B и D принадлежат осям Ox и Oy, соответственно, то
B=(4,0,0), D=(0,4,0)
Так как точка C принадлежит плоскости Oxy, то
C=(4,4,0)
Так как пирамида правильная, то O - середина отрезка [AC]. По утверждению 2, получаем:
O=(\frac{0+4}{2},\frac{0+4}{2},\frac{0+0}{2})=(2,2,0)
Так как высота SO перпендикулярна плоскости Oxy, то
S=(2,2,3)
По утверждению 4, будем получать
|AO|=\sqrt{(0-2)^2+(0-2)^2+(0-0)^2}=2\sqrt{2}
Теперь найдем боковую сторону по теореме Пифагора
AS^2=9+8
AS=\sqrt{17}
Ответ: \sqrt{17}.
Найти минимальное расстояние от точки P с координатами (1,2,3) до каждой из координатных осей в прямоугольной системе координат (рис. 2)
Решение.
Как нам известно, чтобы найти минимальное расстояние от точки до любой прямой нужно провести к ней перпендикуляр и найти его длину. Проведем перпендикуляры ко всем координатным осям (рис. 3).
Видим, что:
X=(1,0,0), Y=(0,2,0), Z=(0,0,3)
Теперь будем находить расстояния по 4 утверждению:
|PX|=\sqrt{(1-1)^2+(2-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13}
|PY|=\sqrt{(1-0)^2+(2-2)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}
|PZ|=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2+(3-3)^2}=\sqrt{5}
Ответ: \sqrt{13}, \sqrt{10} и \sqrt{5}.
