Излучение абсолютно черного тела равнозначно с энергетической точки зрения излучению бесконечного количества гармонических осцилляторов, которые не взаимодействуют между собой. Рэлей и Джинс применили к равновесному излучению в полости теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Которая говорит о том, что в состоянии статистического равновесия на каждую степень свободы приходится в среднем 12kT кинетической энергии (k=1,38⋅10−23ДжК). Если степень свободы колебательная, то следует учесть и потенциальную энергию. Если мы имеем дело с гармоническими колебаниями, то значение энергии взаимодействия, так же будет равно 12kT. Так, получается, что на каждую степень свободы в среднем приходится энергия (⟨ε⟩) равная kT, то есть запишем:
В полости рассматриваемое нами излучение является системой стоячих волн. Если не учитывать поляризацию количество этих волн в единице объема полости задается формулой:
Используя предположение Рэлея и Джинса об энергии колебаний, умножим (2) на (1), получим плотность энергии (wν), которая приходится на частоты в интервале dν:
Следовательно:
Формулу (4) можно записать через циклическую частоту (ω), в таком случае она примет вид:
Зная связь между спектральной плотностью (wν) и излучательной способностью абсолютно черного тела (εν,T):
получим, что энергетическая светимость абсолютно черного тела равна:
Формулы (7,8) называются формулами (законами) Рэлея -- Джинса. Формулы (4,5) также иногда называют формулами Рэлея -- Джинса. Расчеты, проводимые с помощью формулы Рэлея - Джинса сходятся с экспериментальными данными только в области малых частот (или больших длин волн) и резко расходятся с опытом для больших частот. Так при больших частотах εν,T монотонно возрастает, не имея максимума.
Интегральную плотность энергии. Проинтегрируем выражение (4) по частоте в пределах от нуля до бесконечности.
w=8πc3kT∞∫0ν2dν=∞(9).Классическая физика требует, чтобы формула Релея -- Джинса была справедлива при любых частотах. Однако мы получили в (9) для интегральной плотности энергии бесконечное значение. Следствием теории Рэлея -- Джинса становится невозможность теплового равновесия между веществом и излучением. П.С. Эренфестом такой вывод был назван ультрафиолетовой катастрофой. Дело в том, что в теории Рэлея - Джинса излучение в полости имеет бесконечное количество степеней свободы, а вещество конечное. И если основываться на равномерном распределении энергии по степеням свободы, то при тепловом равновесии вся энергия должна быть сосредоточена в излучении. Однако и тезис о том, что теорема о равномерном распределении энергии является неприменимой к излучению, неубедителен, так как непонятно, почему для одних она справедлива, а для других нет.
Формула для плотности энергии
К формуле Рэлея -- Джинса пришел и Планк. Планк провел рассуждения и применение вышеназванной теоремы к одномерному гармоническому осциллятору, помещенному в полость с равновесным излучением (к веществу, а не излучению). Под действием изменяющегося хаотически электромагнитного поля излучения осциллятор совершает колебания с произвольно изменяющимися амплитудами и фазами, поглощая и излучая электромагнитные волны. Энергия осциллятора будет изменяться около среднего значения ⟨ε⟩. В результате Планк получил формулу для плотности энергии:
Формула Рэлея -- Джинса применяется на практике в длинноволновой инфракрасной области спектра и в радиодиапазоне.
Задание: Покажите, что Формула Рэлея -- Джинса согласуется с условием, которое было установлено Вином для функции спектрального разложения излучения абсолютно черного тела.
Вин показал, что функция спектрального распределения должна иметь следующий вид:
εν,T (ν,T)=ν3F(νT)(1.1),где F(νT)- неизвестная функция отношения частоты к термодинамической температуре.
Рассмотрим случай низких частот. Функция F(νT) возрастающая функция температуры, при T=0 F(νT)=0. Рассмотрим ее как функцию аргумента (Tν) (для наших рассуждений это ни чего не изменит). Разложим функцию F(Tν) в ряд по степеням аргумента. Ограничимся первым членом ряда, так имеем:
εν,T (ν,T)=ν3F(νT)=Сv2T(1.2).По своему виду формула (1.2) совпадает с формулой Рэлея - Джинса:
εν,T=2πν2c2kT(1.3).Только в (1.2) не известен коэффициент С.
Задание: Равновесное излучение заключено в полости, стенки которой имеют постоянную температуру T. Вычислить флуктуации энергии ε такого излучения в объеме V в спектральном интервале (ν, ν+dν), используя формулу Рэлея -- Джинса.
Решение:
За основу решения возьмем определение флуктуации энергии в виде:
⟨△E2⟩=kT2d⟨E⟩dT (2.1)и формулу Рэлея -- Джинса:
wν=8πν2c3kT(2.2).Запишем энергию равновесного излучения в полости объемом V в спектральном интервале частот от ν до ν+dν (dE) как:
dE=Vwνdν=8$ð$н2c3⟨E⟩Vdν (2.3).Получим
⟨△E2⟩=⟨E⟩kT=c38πν2Vdν⟨E2⟩ (2.4).Полученная формула соответствует волновым представлениям о световых волнах. Здесь флуктуации возникают за счет суперпозиции волн различных частот.
