Излучение абсолютно черного тела равнозначно с энергетической точки зрения излучению бесконечного количества гармонических осцилляторов, которые не взаимодействуют между собой. Рэлей и Джинс применили к равновесному излучению в полости теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Которая говорит о том, что в состоянии статистического равновесия на каждую степень свободы приходится в среднем $\frac{1}{2}kT$ кинетической энергии ($k=1,38\cdot {10}^{-23}\frac{Дж}{К}$). Если степень свободы колебательная, то следует учесть и потенциальную энергию. Если мы имеем дело с гармоническими колебаниями, то значение энергии взаимодействия, так же будет равно $\frac{1}{2}kT$. Так, получается, что на каждую степень свободы в среднем приходится энергия ($\left\langle \varepsilon \right\rangle $) равная $kT$, то есть запишем:
В полости рассматриваемое нами излучение является системой стоячих волн. Если не учитывать поляризацию количество этих волн в единице объема полости задается формулой:
Используя предположение Рэлея и Джинса об энергии колебаний, умножим (2) на (1), получим плотность энергии ($w_{\nu }$), которая приходится на частоты в интервале $d\nu $:
Следовательно:
Формулу (4) можно записать через циклическую частоту ($\omega $), в таком случае она примет вид:
Зная связь между спектральной плотностью ($w_{\nu }$) и излучательной способностью абсолютно черного тела (${\varepsilon }_{\nu ,T}$):
получим, что энергетическая светимость абсолютно черного тела равна:
Формулы (7,8) называются формулами (законами) Рэлея -- Джинса. Формулы (4,5) также иногда называют формулами Рэлея -- Джинса. Расчеты, проводимые с помощью формулы Рэлея - Джинса сходятся с экспериментальными данными только в области малых частот (или больших длин волн) и резко расходятся с опытом для больших частот. Так при больших частотах ${\varepsilon }_{\nu ,T}$ монотонно возрастает, не имея максимума.
Интегральную плотность энергии. Проинтегрируем выражение (4) по частоте в пределах от нуля до бесконечности.
\[w=\frac{8\pi }{c^3}kT\int\limits^{\infty }_0{{\nu }^2}d\nu =\infty \left(9\right).\]Классическая физика требует, чтобы формула Релея -- Джинса была справедлива при любых частотах. Однако мы получили в (9) для интегральной плотности энергии бесконечное значение. Следствием теории Рэлея -- Джинса становится невозможность теплового равновесия между веществом и излучением. П.С. Эренфестом такой вывод был назван ультрафиолетовой катастрофой. Дело в том, что в теории Рэлея - Джинса излучение в полости имеет бесконечное количество степеней свободы, а вещество конечное. И если основываться на равномерном распределении энергии по степеням свободы, то при тепловом равновесии вся энергия должна быть сосредоточена в излучении. Однако и тезис о том, что теорема о равномерном распределении энергии является неприменимой к излучению, неубедителен, так как непонятно, почему для одних она справедлива, а для других нет.
Формула для плотности энергии
К формуле Рэлея -- Джинса пришел и Планк. Планк провел рассуждения и применение вышеназванной теоремы к одномерному гармоническому осциллятору, помещенному в полость с равновесным излучением (к веществу, а не излучению). Под действием изменяющегося хаотически электромагнитного поля излучения осциллятор совершает колебания с произвольно изменяющимися амплитудами и фазами, поглощая и излучая электромагнитные волны. Энергия осциллятора будет изменяться около среднего значения $\left\langle \varepsilon \right\rangle $. В результате Планк получил формулу для плотности энергии:
Формула Рэлея -- Джинса применяется на практике в длинноволновой инфракрасной области спектра и в радиодиапазоне.
Задание: Покажите, что Формула Рэлея -- Джинса согласуется с условием, которое было установлено Вином для функции спектрального разложения излучения абсолютно черного тела.
Вин показал, что функция спектрального распределения должна иметь следующий вид:
\[{\varepsilon }_{\nu ,T\ }\left(\nu ,T\right)={\nu }^3F\left(\frac{\nu }{T}\right)\left(1.1\right),\]где $F\left(\frac{\nu }{T}\right)$- неизвестная функция отношения частоты к термодинамической температуре.
Рассмотрим случай низких частот. Функция $F\left(\frac{\nu }{T}\right)$ возрастающая функция температуры, при T=0 $F\left(\frac{\nu }{T}\right)=0.$ Рассмотрим ее как функцию аргумента ($\frac{T}{\nu }$) (для наших рассуждений это ни чего не изменит). Разложим функцию $F$($\frac{T}{\nu }$) в ряд по степеням аргумента. Ограничимся первым членом ряда, так имеем:
\[{\varepsilon }_{\nu ,T\ }\left(\nu ,T\right)={\nu }^3F\left(\frac{\nu }{T}\right)=Сv^2T\left(1.2\right).\]По своему виду формула (1.2) совпадает с формулой Рэлея - Джинса:
\[{\varepsilon }_{\nu ,T}=\frac{2\pi {\nu }^2}{c^2}kT\left(1.3\right).\]Только в (1.2) не известен коэффициент С.
Задание: Равновесное излучение заключено в полости, стенки которой имеют постоянную температуру T. Вычислить флуктуации энергии $\varepsilon $ такого излучения в объеме V в спектральном интервале ($\nu ,\ \nu +d\nu $), используя формулу Рэлея -- Джинса.
Решение:
За основу решения возьмем определение флуктуации энергии в виде:
\[\left\langle \triangle E^2\right\rangle =kT^2\frac{d\left\langle E\right\rangle }{dT}\ \left(2.1\right)\]и формулу Рэлея -- Джинса:
\[w_{\nu }=\frac{8\pi {\nu }^2}{c^3}kT\left(2.2\right).\]Запишем энергию равновесного излучения в полости объемом V в спектральном интервале частот от $\nu $ до $\nu $+d$\nu $ ($dE$) как:
\[dE=Vw_{\nu }d\nu =\frac{8$\eth$н^2}{c^3}\left\langle E\right\rangle Vd\nu \ \left(2.3\right).\]Получим
\[\left\langle \triangle E^2\right\rangle =\left\langle E\right\rangle kT=\frac{c^3}{8\pi {\nu }^2Vd\nu }\left\langle E^2\right\rangle \ \left(2.4\right).\]Полученная формула соответствует волновым представлениям о световых волнах. Здесь флуктуации возникают за счет суперпозиции волн различных частот.
