Давление в покоящейся жидкости, кинематика жидкости

1. ДАВЛЕНИЕ В ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ 1.1. Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания Основные физические характеристики жидкости, существенные при решении задач данного раздела, - плотность и удельный вес. Плотность - масса единицы объема жидкости ρ = m/V, где m - масса жидкости в объеме V. Размерность плотности в системе СИ - кг/м3. Плотность дистиллированной воды при 4°С ρ в =1000 кг / м 3 . Плотность ртути при 0°С ρ рт =13600 кг / м 3 . Удельный вес - вес единицы объема жидкости γ = G/V, где G - вес жидкости в объеме V. Размерность удельного веса в системе СИ - Н / м 3 . Удельный вес дистиллированной воды при 4°С γ в = 9810 Н / м 3 . Плотность и удельный вес связан- ны между собой зависимостью γ = ρg, где g = 9,81 м / с 2 - ускорение свободного падения. Относительная плотность δ - безразмерная величина, равная отношению плотности ρж данной жидкости к плотности ρ в дистиллированной воды при 4°С δ = ρ ж / ρ в . При колебаниях температуры и давления объем жидкости изменяется незначительно. Поэтому в практических расчетах (в том числе и в задачах данного раздела) плотность и удельный вес жидкости считаются независимыми от этих параметров, за исключением особых случаев. Давлением p называется отношение силы F, нормальной к поверхности, к площади S. При равномерном распределении p = F/S. Размерность давления в системе СИ - паскаль (1Па = 1 Н / м 2 ). В технике используется также внесистемная единица - техническая атмосфера, равная 1ат = 1 кгс / см 2 = 98100 ≈ 1⋅10 5 Па. Однозначное соответствие между высотой h столба жидкости и давлением, создаваемым его весом p = ρgh = γh, позволяет условно выражать давление высотой столба данной жидкости. Например, высоте hрт - 750мм ртутного столба соответствует давление: p = ρ рт ghрт = 13600⋅9,81⋅0,750 = 1,0⋅10 5 Па. Давление, равное одной технической атмосфере, эквивалентно давлению 2 3 столба воды высотой h = p / γ в = 98100 Н/м / 9810 Н/м = 10 м. вод. ст. В зависимости от способа отсчета различают три вида давления. 6 Если давление отсчитывается от абсолютного нуля, то его называют абсолютным ( p абс ). Частный случай абсолютного давления - атмосферное давление, равное примерно p атм = 1⋅10 5 Па. Давление может отсчитываться от условного нуля, за который принимается атмосферное давление. Если p абс > p атм , то избыток абсолютного давления над атмосферным называется избыточным или манометрическим давлением p изб = p абс - p атм . Если p абс < p атм , то недостаток абсолютного давления до атмосферного называется вакуумметрическим давлением или вакуумом: p вак = p атм - p абс . Величина вакуума может изменяться от нуля (при p абс = p атм ) до p атм (при p абс =0). Избыточное давление измеряется манометром, а вакуумметрическое давление - вакуумметром. Давление в неподвижной жидкости называется гидростатическим и обладает следующими двумя свойствами: - оно всегда направлено по нормали внутрь рассматриваемого объема жидкости; - в любой точке внутри жидкости оно по всем направлениям одинаково. Поверхность в жидкости, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью равного давления или поверхностью уровня. Гидростатическое давление р в любой точке однородной несжимаемой жидкости, находящейся в равновесии под действием сил тяжести, определяется основным уравнением гидростатики p = p 0 + ρgh = p 0 + γh, где p 0 - давление в некоторой точке 0 жидкости; h - глубина погружения рассматриваемой точки относительно точки 0, может быть как положительной, так и отрицательной; ρ gh или γ h - весовое давление столба жидкости высотой h. В частом случае, если точка 0 лежит на свободной поверхности жидкости, то p 0 - внешнее поверхностное давление, h - глубина расположения рассматриваемой точки под свободной поверхностью. Из основного уравнения гидростатики следует: - с увеличением глубины h давление возрастает по линейному закону; - любая горизонтальная плоскость в данной жидкости, находящейся в равновесии, является поверхностью уровня (при ρ = const и h = const ⇒ ⇒ р=const). К последним относится и свободная поверхность ( h = 0 ⇒ р = p 0 ); - внешнее поверхностное давление p 0 передается во все точки жидкости и по всем направлениям одинаково. Всякое изменение давления p 0 вызывает изменение давления р во всех точках покоящейся жидкости на ту же величину (закон Паскаля). Весовое гидростатическое давление действует как в жидкостях, так и в газах. Однако, принимая во внимание малую плотность газа и малую высоту 7 газового столба в закрытом сосуде, давление газа во всем его объеме принимают одинаковым. Объем газа в большей мере зависит от температуры и давления, что необходимо учитывать в технических расчетах. В частном случае, для изотермического процесса (температура газа постоянна) зависимость объема газа от давления устанавливается законом Бойля - Мариотта: p абс V = const, или p абс 1 V1 = p абс 2 V 2 , где V1 и V 2 - объемы газа при соответствующих абсолютных давлениях p абс 1 и p абс 2 . Указания к решению задач: • при решении задач данного раздела нужно хорошо усвоить и не смешивать такие понятия, как давление р и сила F; • необходимо твердо различать давления абсолютное, избыточное и вакуум. Сравнивать по величине можно только давления, заданные в одной системе отсчета. Поэтому левая и правая часть всякого уравнения давления должна содержать выражения одноименных давлений (абсолютных или избыточных). Вакуумметрическое давление в процессе решения задач следует выражать через абсолютное давление; • для определения давления в той или иной точке жидкости следует пользоваться основным уравнением гидростатики. При этом нужно иметь в виду, что второй его член ρ gh может быть как положительным, так и отрицательным; • при составлении уравнения давлений часто целесообразно вводить в рассмотрение плоскость уровня. Следует помнить, что ее можно проводить только в пределах объема одной и той же жидкости; • при решении задач, в которых даны поршни, нужно использовать уравнения равновесия, т.е. равенство нулю суммы всех сил, действующих на поршень; • если атмосферное давление задано высотой ртутного столба hрт , то его расчетное значение следует определить по формуле Pатм = ρ рт ghатм . В других случаях величину атмосферного давления можно приближенно принять равной p атм =1,0⋅10 5 Па. 1.2. Пример решения задачи Задача. В закрытый цилиндрический резервуар высотой Н, заполненный воздухом при атмосферном давлении, соответствующем hатм , миллиметр ртутного столба, подается масло с относительной плотностью δ м (рис. 1.1.). При этом происходит сжатие воздуха в резервуаре. Давление в системе создается поршнем диаметром D гидроцилиндра, расположенного на расстоянии a от дна резервуара. Процесс сжатия воздуха считать изотермическим, трением поршня о стенки цилиндра пренебречь. 8 2. СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ НА СТЕНКИ 2.1. Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания Воздействие жидкости на плоские стенки. Если стенка подвергается одностороннему давлению жидкости (на несмоченной стороне стенки атмосферное давление, рис. 2.1.), то результирующая F сил избыточного давления на стенку определяется по соотношению F = p Cизб S , (2.1) где p Cизб - избыточное давление в центре тяжести С площади S стенки. Формула (2.1) может быть приведена к одному из видов: ⎞ ⎛ p0 F = (р 0 изб + ρghС ) S = ρg ⎜⎜ изб + hС ⎟⎟ ⋅ S = ρgξ С S . ⎠ ⎝ ρg Здесь ρ - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения; hС - глубина погружения центра тяжести площади под свободную поверхность (СП); p0изб - избыточное давление над СП; ξ С - расстояние от центра тяжести С площади S до пьезометрической плоскости (ПП). Пьезометрическая плоскость, т. е. плоскость атмосферного давления, проходящая через уровень жидкости в пьезометре, присоединенном к сосуду (см. рис. 2.1), будет располагаться на высоте h0 n = p 0изб / ρg от СП жидкости. Если имеется показание р м манометра в какой-то точке жидкости, то ПП находится выше этой точки на расстоянии hп = p м / ρg . Рис. 2.1 При вакууме p 0вак эта плоскость проходит ниже СП на h0вак = p 0вак / ρg . Ес- ли на свободной поверхности избыточное давление равно нулю ( p 0изб = 0 ), то ПП совпадает со СП, и нагрузка на стенку создается только давлением жидкости. Вектор силы F направлен по нормали к стенке S, а линия действия этой силы пересекает стенку в точке D, называемой центром давления. Положение центра давления в плоскости стенки можно найти с помощью формул: I I y D = yC + C , ξ D = ξ C + C sin 2 α , ξC S yC S 22 где y D и y C - расстояния от центра давления D и центра тяжести C до линии пересечения плоскости стенки с ПП (ось Ох на рис. 2.1.); ξ D - вертикальное расстояние от центра давления D до ПП; I C - момент инерции площади S относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести С; α угол наклона стенки к горизонту. В практических расчетах часто используют смещение центра давления D относительно центра тяжести С: I Δy = y D − y C = C . (2.2) yC S При двустороннем воздействии жидкостей на плоскую стенку следует сначала определить силы давления на каждую сторону стенки, а затем найти их результирующую по правилам сложения параллельных сил. Для решения задач, когда в центре тяжести С площади стенки наблюдается вакуум, или, когда только часть S стенки подвергается воздействию жидкости под избыточным давлением газа (воздуха), а необходимо определить суммарную силу воздействия газа и жидкости на всю стенку S O , следует обратиться к [3, 6]. В прил. 3 даны моменты инерции I C , площади некоторых плоских симметричных фигур и координаты их центров тяжести. Силы давления жидкости на криволинейные стенки. В этом случае элементарные силы давления действуют в каждой точке поверхности нормально к ней, имеют разные направления и могут быть приведены к главному вектору и главному моменту. В большинстве практических задач рассматриваются цилиндрические или сферические поверхности, имеющие вертикальную плоскость симметрии. В этом случае сумма элементарных сил давления приводится к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии. Величину и направление равнодействующей силы F на цилиндрическую поверхность АВ с образующей, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис.2.2), можно определить по двум взаимно-перпендикулярным составляющим, например, горизонтальной и вертикальной . Горизонтальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку S равна силе давления на вертикальную проекцию этой стенки, нормальную к оси Ох, и определяется по формуле (2.3) Fx = pCx S x , где pCx - избыточное давление в центре тяжести C x площади S x вертикальной проекции стенки. Таким образом, алгоритм вычисления Fx следующий: 1) спроецировать поверхность S на вертикальную плоскость, перпендикулярную оси 0х, и определить ее площадь S x ; 23 2) найти центр тяжести C x площади S x ; 3) вычислить избыточное давление pCx в точке C x ; 4) перемножить величину на значение плодавления pCx щади S x . Линия действия силы Fx проходит через центр давления D x вертикальной проекции стенки и смещена относительно центра тяжести C x на расстояние Рис. 2.2 I Δh = Cx , ξ Cx S x где I Cx - момент инерции площади S x относительно горизонтальной оси, проходящей через точку C x ; ξ Сх - расстояние по вертикали от центра тяжести до ПП. Вертикальная составляющая силы давления, воспринимаемой криволинейной стенкой, равна весу жидкости в объеме V тд так называемого тела давления. Объем V тд ограничен рассматриваемой криволинейной стенкой, пьезометрической плоскостью и вертикальной проецирующей поверхностью, построенной на контуре стенки (см. рис. 2.2). Следовательно, для вертикальной составляющей Fz имеем (2.4) Fz = ρgV тд . Она проходит через центр тяжести объема V тд . Если жидкость расположена над твердой поверхностью, то тело давления строится со смоченной стороны стенки (рис. 2.3), а вертикальная составляющая силы направлена вниз. Когда криволинейная поверхность находится над жидкостью, то строится фиктивное тело давления, расположенное с сухой стороны стенки; при этом вертикальная составляющая силы наРис. 2.3 правлена вверх. В приведенных формулах для Fx и Fz предполагается, что жидкость находится с одной стороны стенки, а с несмоченной ее стороны давление равно атмосферному. Величина полной силы давления на криволинейную стенку определяется по соотношению 24 F = F x2 + Fz2 . Линия действия F проходит через точку пересечения линий действия составляющих Fx и Fz . Угол ϕ наклона силы F к горизонту можно найти с помощью формулы tgϕ = Fz / Fx . Заметим, что для стенок постоянной кривизны (цилиндрических, сферических) полная сила давления проходит через ось или центр кривизны стенки. В некоторых случаях для нахождения той или иной составляющей силы давления жидкости на криволинейную стенку следует разбить ее поверхность на отдельные участки, определить соответствующие усилия на каждый участок стенки и далее их просуммировать. Так, для определения вертикальной составляющей силы давления жидкости на полусферическую стенку abc (рис. 2.4), следует разделить поверхность полусферы горизонтальной плоскостью на верхнюю ab и нижнюю bc половины и найти вертикальные составляющие силы давления на каждую из них. Для стенки ab она равна весу жидкости в объеме abmn ( Fzab = ρgV автn ) и направлена вверх, а для стенки bc она равна весу жидкости в объеме bcnm ( Fzbc = ρgV bcnm ) и направлена вниз. Следовательно, вертикальная составляющая силы давления на всю полусферу abc равна разности найденных величин Fz = Fzbc − Fzab = ρg(V bcnm − V abmn ) = ρgV abc , Рис. 2.4 т.е. равна весу жидкости в объеме жидкости полусферы и направлена вниз. Заметим, что для нахождения горизонтальной составляющей силы давления жидкости нет необходимости разбивать поверхность abc на участки, т.е. горизонтальная составляющая силы может быть определена на всю полусферу. Возможным приемом расчета силы давления, который часто упрощает решение задач, является рассмотрение равновесия объема жидкости, заключенного между поверхностью и плоским сечением, проведенным через ее граничный контур. Пусть, например, требуется определить силу F давления жидкости на коническую крышку (рис. 2.5). Выделим в качестве механического объекта объем жидкости, ограниченный конической крышкой и плоским основанием ac в виде круга. По аксиоме статики равновесие жидкого объема не нарушается при его затвердевании. На полученное твердое тело действуют три силы: сила тяжести и две реакции, одна со стороны плоского основания, другая – со стороны боковой поверхности конуса. Три уравновешенных силы лежат в плоскости и пересекаются в одной точке, поэтому условие равновесия выделенного объекта в векторной форме можно записать в виде N +G + R = 0, 25 Рис. 2.5 где N - сила давления жидкости на выделенный объем, т.е. на плоское сечение ac ( N = ρgξ C S ac и проходит по нормали к сечению через центр давления D); G - вес выделенного объема жидкости ( G = ρgV abc ); R - сила действия крышки на жидкость. Так как искомая сила F равна и противоположна силе R , получаем уравнение F = N + G , из которого можно определить силу давления F или любую ее составляющую. 2.2. Примеры решения задач Задача 2.2.1. Поворотный клапан АО закрывает выход из бензохранилища в трубу круглого сечения диаметром d=30см (рис. 2.6). Пластина клапана опирается на срез трубы, сделанный под углом α = 45° .Плотность бензина ρ =700кг/ м 3 . В трубе жидкость отсутствует. Определить (без учета трения в опоре О клапана и ролика В) силу Т натяжения троса, необходимую для открытия клапана, если уровень бензина Н=0,85м, а давление над ним по манометру p м =5,0 кПа. Дано: H=0,85м; d=30 см=0,30м; ρ =700 кг/ м 3 ; Рис. 2.6 p м =5,0 кПа=5 ⋅103 Па. Определить: T. Решение. 1. Для определения силы натяжения троса при открытии клапана необходимо найти силу воздействия бензина на пластину клапана и точку ее приложения. Так как со стороны трубы давление атмосферное, то сила давления бензина равна F = р Cизб S , где р Сизб - избыточное дав- ление в центре тяжести площади пластины АО, равное 0.30 ⎞ d⎞ ⎛ ⎛ 3 pСизб = pм + ρghC = pм + ρg ⎜ H − ⎟ = 5 ⋅ 103 + 700 ⋅ 9.81⎜ 0.85 − ⎟ = 9.81 ⋅ 10 Па; 2 ⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ 0.30 ⋅ 0.30 d d = 3.14 S =π ⋅ = 0.100 м 2 -площадь пластины. 2 ⋅ 2 ⋅ 0.707 2 2 sin α Таким образом, получим F = 9.81 ⋅10 3 ⋅ 0.100 = 981 Н. 26 3. КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ 3.1. Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания В данном разделе рассматривается в основном плоское течение, т.е. одинаковое во всех плоскостях, перпендикулярных некоторой оси (поперечное обтекание цилиндрических тел и т.д.). Выбрав эту ось за одну из осей координат (например, за ось z), получаем, что для всего поля течения соответствующая проекция скорости равна нулю ( v z =0). Движение жидкости можно изучать с помощью метода Эйлера, в котором рассматривается изменение совокупности характеристик течения и свойств жидкости в функции от координат точек пространства и времени. Например, поле скорости может быть задано в виде скалярных функций: (3.1) v x = v x ( x , y, t ) ; v y = v y ( x , y, t ) . По теореме Коши-Гельмгольца движение жидкой частицы можно представить состоящим из трех составляющих: поступательного движения вместе с полюсом, вращения вокруг полюса и деформационного движения. Характеристикой вращательного движения служит угловая скорость 1 ⎛ ∂v y ∂v x ⎞ 1 ⎟. − (3.2) ω = rot v или ω z = ⎜⎜ 2 ∂y ⎟⎠ 2 ⎝ ∂x Деформационное движение характеризуется относительными скоростями линейной деформации: ε x = ∂v x ∂x ; ε y = ∂v y ∂y (3.3) и относительной скоростью деформации сдвига (угловой деформации) 1 ⎛ ∂v y ∂v x ⎞ ⎟. θ z = ⎜⎜ + (3.4) ∂y ⎟⎠ 2 ⎝ ∂x Ускорение частицы в эйлеровых переменных: ∂v ∂v dv ∂v ; (3.5) = + vx + vy ∂x ∂y dt ∂t dv y ∂v y ∂v y ∂v y ∂v dv x ∂v x ∂v = . + vx + vy = + vx x + v y x ; ∂t ∂x ∂y dt dt ∂t ∂x ∂y Первое слагаемое ∂v ∂t представляет собой локальное, или местное, ускорение, вызываемое нестационарностью поля скорости. Остальные слагаемые - конвективное или переносное ускорение, вызываемое неоднородностью поля скорости. По формулам (3.2) – (3.5) при известном поле скорости (3.1) можно определить все характеристики движения жидкой частицы, а также найти семейства линий тока и траекторий. Линией тока называется линия, в каждой точке которой вектор скорости в рассматриваемый момент направлен по касательной. Дифференциальное уравнение семейства линий тока имеет вид 43 dx dy = . (3.6) vx vy Траекторией частицы называется след ее движения в пространстве (в случае плоских течений в плоскости). В случае установившегося течения, характеристики которого во всех точках пространства не зависят от времени, локальная составляющая ускорения равна нулю ∂v ∂t =0, а линии тока и траектории совпадают. Течение жидкости (без разрывов) удовлетворяет уравнению неразрывности, выражающему закон сохранения массы. Это уравнение в дифференциальной форме для несжимаемой жидкости имеет вид ∂v x ∂v y + =0 (3.7) ∂x ∂y или в важной для практических приложений полярной системе координат ∂v r 1 ∂v θ v r + + = 0, (3.8) ∂r r ∂θ r для элементарной трубки тока vdS = dQ = const, (3.9) где dQ - объемный расход через сечение; dS - площадь сечения, нормального линиям тока (в случае плоских течений площадь сечения dS = dl ⋅ 1, dl - элемент в плоскости Оху, 1- высота сечения вдоль Оz). Кинематический анализ потока жидкости с заданным полем скорости (3.1) включает: 1) проверку удовлетворения уравнению неразрывности (3.7) или (3.8); 2) определение характеристик движения жидкой частицы ( ω z , ε x , ε y , θ z , dv / dt ) по формулам (3.2) – (3.5); 3) нахождение характерных линий течения (3.6) и их построение. В случае плоского течения существует функция тока ψ, связанная с проекциями скорости зависимостями: - в прямоугольных координатах v x = ∂ψ ∂y ; v y = − ∂ψ ∂x , (3.10) - в полярных координатах v θ = − ∂ψ ∂r . (3.11) v r = ( ∂ψ / ∂θ ) / r ; Знание функции тока упрощает и нахождение линий тока, так как уравнение их семейства принимает вид ψ = С. (3.12) Функция тока по проекциям скорости может быть определена? согласно (3.10), по формуле y ψ= ∫ v x ( x, y)dy − ∫ ( x, y 0 )dx + C , y0 44 x x0 (3.13) где x 0 , y 0 - координаты точки начала интегрирования. Эта точка выбирается из удобства интегрирования, обычно начало координат (0; 0). Функцию тока можно определить и следующим образом: ψ = ∫ v x ( x , y )dy + C ( x ) , (3.14) где С(х) – постоянная интегрирования, но зависящая от х. Для определения С(х) следует продифференцировать выражение (3.14) по х и использовать второе со∂C ( x ) ∂ отношение (3.10): + = −v y . v ( x , y ) dy x ∂x ∫ ∂x Разность значений функции тока в двух точках (А и В) равна расходу жидкости сквозь цилиндрическую поверхность единичной высоты, проходящую через кривую, соединяющую эти точки: (3.15) Q AB = ψ B − ψ A . Если во всех точках течения отсутствует угловая скорость вращения частиц жидкости ω z = 0 , то такое течение называется безвихревым или потенциальным. При этом существует потенциал скорости ϕ - скалярная функция, связанная с вектором скорости зависимостью v = grad ϕ . Проекции скорости: • в декартовых координатах v x = ∂ϕ ∂x , v y = ∂ϕ ∂y ; (3.16) • в полярных координатах v r = ∂ϕ ∂r , v θ = ( ∂ϕ / ∂θ ) / r . (3.17) Циркуляция скорости по замкнутому контуру Г = ∫ vl dl = ∫ (v x dx + v y dy ) , (3. 18) где vl - проекция скорости на касательную к контуру; dl - элемент контура. При потенциальном течении, в котором потенциал скорости – однозначная функция координат, циркуляция скорости по замкнутому контуру равна нулю. Во многих реальных вихревых течениях ω ≠ 0 лишь в небольших областях, имеющих вид вихревых шнуров. Вне этих областей поток можно считать потенциальным. Вихревой шнур малых по сравнению с потоком поперечных размеров можно заменить бесконечно тонкой вихревой нитью с интенсивностью I шнура. Согласно теореме Стокса, циркуляция скорости Г по любому контуру, охватывающему вихрь, равна интенсивности вихря: Г=I. (3.19) Элемент dL вихря интенсивности Г=I индуцирует в любой актуальной точке жидкости скорость dv . Согласно формуле Био-Савара, Г ω0 × r0 dv = dL , 4π r 2 где ω0 - орт-вектор угловой скорости, определяющий направление касательной элемента dL вихревой нити; r0 - орт радиус-вектора r , проведенного от dL в актуальную точку. Для плоской вихревой нити величина индуцированной скорости v для точки в плоскости вихря определяется интегралом по длине вихря: 45 v= Г sin α dL , 4 π α∫ r 2 (3.20) очевидно, что sin α есть модуль векторного произведения ω0 × r0 . Прямой отрезок вихря, направленный по угловой скорости ω , согласно (3.20) индуцирует скорость Г (cos α1 − cos α 2 ) . v= 4 πh Здесь h - расстояние от точки до отрезка; α1 , α 2 - углы от отрезка до направлений r1 , r2 на точку из начала и конца отрезка. Для исследования плоских потенциальных потоков наиболее эффективен метод, основанный на использовании функций комплексного переменного: z = x + iy = re iθ = r(cos θ + i sin θ ); i = − 1 . (3.21) Здесь r = x 2 + y 2 и θ = arcsin y / x . Плоское течение полностью описывается характеристической функцией течения (комплексным потенциалом): w( z ) = ϕ( x , y ) + iψ( x , y ) , (3.22) действительная часть которой представляет собой потенциал скорости, а коэффициент мнимой части – функцию тока. Если течение неустановившееся w=w(z, t), то время t входит в характеристическую функцию как параметр. Производная комплексного потенциала по z представляет собой комплексную скорость dw dz = v x − iv y . Действительная же скорость в комплексной форме записывается как v = v x + iv y . Если течение получено сложением нескольких потенциальных потоков, то может быть использован метод наложения: функция тока, и потенциал скорости результирующего течения определяются как сумма функций тока и потенциалов скорости простейших потоков соответственно: ψ ∑ = ψ1 + ψ 2 + ψ3 + ...; ϕ∑ = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ...; w∑ = w1 + w2 + w3 + .... (3.23) Картину линий тока суммарного течения можно получить графически. Для этого нужно наложить одна на другую сетки линий тока двух составляющих потоков, построенных с одинаковым шагом по расходам: Δψ1 = Δψ 2 = ΔQ1 = ΔQ 2 (рис. 3.1). Линии тока суммарного течения будут диагоналями криволинейных параллелограммов, образованных пересечением этих двух сеток. При использовании метода наложения большое значение имеют так называемые проРис. 3.1 стейшие плоские потоки, для которых ниже приведены комплексный потенциал w, потенциал скорости ϕ и функция тока ψ: – поступательный поток, текущий со скоростью v ∞ под углом α к оси х, 46 w = v ∞ e − iα z , ϕ = v ∞x x + v ∞y y , ψ = v ∞x x − v ∞ y y ; (3.24) - источник с расходом Q, расположенный в начале координат (для стока Q заменяется на –Q), Q Q Q Q Q y arctg ; (3.25) w= ln z , ϕ = ln r = ln x 2 + y 2 , ψ = θ= 2π 2π 2π 2π 2π x - источник с расходом Q , расположенный в точке z 0 , y − y0 Q Q Q arctg w= ln( z − z 0 ) , ϕ = ln ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 , ψ = ; (3.26) 2π 2π 2π x − x0 - плоский циркуляционный поток – плоский вихрь с циркуляцией Г, расположенный в начале координат, y Г Г Г Г Г ln z , ϕ = arctg , ψ = − w= ln r = − ln x 2 + y 2 ; (3.27) θ= 2π 2π 2 πi 2π 2π x - плоский вихрь с циркуляцией Г, расположенный в точке z 0 , y − y0 Г Г arctg w= ln( z − z 0 ) , ϕ = , 2 πi 2π x − x0 (3.28) Г ψ=− ln ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 . 2π 3.2. Примеры решения задач Задача 3.2.1. Исследовать плоский поток, заданный полем скоростей: v x = ax 2 ; v y = −axy . Построить семейство линий тока, найти расход жидкости через отрезок прямой АВ [А(0,5; 2), В(3; 3)] и вычислить циркуляцию скорости по окружности радиусом R=1,0 c центром в точке С(2; 1). Решение. 1. Убедимся в возможности существования заданного потока, для чего рассмотрим уравнение неразрывности (3.7): ∂v x ∂x + ∂v y ∂y = 2ax − 2ax = 0 . Уравнение неразрывности удовлетворяется, следовательно, существование заданного течения возможно. Поскольку поток плоский ( v z = 0 ), по формулам (3.2)÷(3.5) найдем следующие характеристики: ∂v y ∂v 1 ⎛ ∂v y ∂v x ⎞ 1 ⎟ = (− 2 ay + 0 ) = −ay + ε x = x = 2 ax , ε y = = −2 ax , θ z = ⎜⎜ ∂y ⎟⎠ 2 ∂x ∂y 2 ⎝ ∂x - частицы движутся, растягиваясь по оси х и сжимаясь по оси у с угловыми деформациями; 1 ⎛ ∂v y ∂v x ⎞ 1 ⎟ = (− 2 ay − 0 ) = −ay ω z = ⎜⎜ − - (течение вихревое); ∂y ⎟⎠ 2 2 ⎝ ∂x 47 4. ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 4.1. Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания Любая реальная жидкость в той или иной мере обладает свойством вязкости. Однако решение многих важных задач для таких маловязких жидкостей, как вода и воздух, можно получить, считая их невязкими. Причем эти решения во многих случаях подтверждаются экспериментальными данными. Для решения задачи о движении невязкой жидкости используют уравнение в форме Громеки: ⎛ v2 p ⎞ ∂v + grad ⎜⎜ + − U ⎟⎟ = −2 ω × v , ∂t ⎝ 2 ρ ⎠ где v , ω - линейная и угловая скорости жидкой частицы; p, ρ - давление и плотность в рассматриваемой точке; U - потенциал массовых сил (в случае только силы тяжести U = - gz). Хотя в общем случае уравнение движения не интегрируется, но для частных случаев их интегрирование при некоторых допущениях возможно. Интегралы уравнений движения устанавливают связь между скоростями и давлениями в потоке жидкости. Для установившегося движения невязкой (идеальной) жидкости (в общем случае вихревого) вдоль линии тока (или вдоль вихревой линии) имеем интеграл (уравнение) Бернулли: v2 p + + gz = C , (4.1) 2 ρ где константа C постоянна вдоль линии тока. Уравнение Бернулли является одним из основных в гидрогазодинамике, так как определяет изменение основных параметров течения – давления p, плотности ρ , скорости v и высоты положения z . Для безвихревого (потенциального) установившегося течения жидкости в поле только силы тяжести существует интеграл Эйлера: v2 p (4.2) + + gz = C , 2 ρ где постоянная С одинакова для всех точек в потоке и определяется из граничных условий (обычно из условия на бесконечности). Интегралы уравнений движения (4.1) и (4.2) выражают закон сохранения удельной механической энергии. Член v 2 / 2 характеризует кинетическую энергию; p/ρ - потенциальную энергию давления, а gz – потенциальную энергию положения. Интегралы Бернулли и Эйлера используют еще в следующих формах: p v2 v2 z+ ρ + p + ρgz = C ; + = H. (4.3) 2 ρg 2 g 55 На основании анализа размерностей следует, что члены уравнения (4.1) характеризуют удельную энергию, отнесенную к единице массы, а (4.3) – удельную энергию, отнесенную соответственно к единице объема и веса. Составляющие полной энергии или полного напора (4.3) могут взаимопревращаться. Следует иметь в виду, что изменение кинетической энергии несжимаемой жидкости вдоль струйки (потока) не может задаваться произвольно: в соответствии с уравнением неразрывности оно однозначно определяется изменением площади S поперечного сечения канала: v1S 1 = v 2 S 2 . (4.4) Схема использования интеграла Бернулли следующая. На линии тока выбирают точки 1 и 2, при этом линия тока условно может быть продолжена до точек, где движения жидкости нет. Применив уравнение (4.3) к двум этим точкам, получим v12 v 22 ρ + p1 + ρgz1 = ρ + p2 + ρgz 2 . (4.5) 2 2 Для невязкой жидкости характерно постоянство скорости и давления в поперечном сечении потока, поэтому вместо расчетных точек можно рассматривать сечения. При применении уравнения Бернулли в виде (4.5) в конкретном расчете очень полезны приведенные ниже рекомендации. Сначала следует задать на рисунке два расчетных сечения и плоскость сравнения. В качестве сечений рекомендуется брать: • свободную поверхность жидкости в резервуаре, где скорость равна нулю, т.е. v=0; • выход потока в атмосферу, где давление в сечении струи равно давлению окружающей среды, т.е. p абс = p атм или p изб = 0 ; • сечение, в котором задано или необходимо определить давление (показания манометра или вакуумметра); • сечение под поршнем, где избыточное давление определяется внешней нагрузкой. Плоскость сравнения удобно проводить через центр тяжести одного из расчетных сечений, обычно расположенного ниже, тогда геометрические высоты сечений z ≥ 0 . Далее рекомендуется записать уравнение Бернулли в общем виде (4.5), а затем переписать его, выразив каждый член уравнения через заданные величины и исключив члены, равные нулю. При этом необходимо помнить следующее: - положительные значения геометрических высот z1 , z 2 , входящих в правую и левую часть уравнения, всегда отсчитываются от плоскости сравнения вверх; - давления p1 , p2 должны быть заданы в одной системе отсчета (абсолютной или избыточной); если какое-либо из них задано как вакуумметрическое давление, то его следует выразить через абсолютное давление. 56 При решении задач по обтеканию тел учитывают граничное условие непротекания жидкости на твердой непроницаемой поверхности, и в первую очередь критические точки, где скорость равна нулю. При этом может быть использован коэффициент давления p (в данной точке), представляющий отношение избыточного (по сравнению с давлением p∞ в невозмущенном потоке) давления p- p∞ к скоростному напору невозмущенного потока ρv ∞2 / 2 , p − p∞ 2 ⎛ v ⎞ = 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ . p= ρv ∞2 / 2 ⎝ v∞ ⎠ В невязкой жидкости коэффициент давления не зависит от рода жидкости (плотности ρ ) и скорости набегающего потока v ∞ , являясь функцией лишь безразмерных координат. 4.2. Пример решения задачи Задача. У фонтана (рис. 4.1) вода вытекает из сопла, имеющего форму конического конфузора длиной l=0,4 м и диаметрами D=120 мм и d=50 мм. Считая воду невязкой жидкостью, вычислить необходимое давление перед соплом для обеспечения заданной высоты H=2,8 м струи. Дано: D=120 мм=0,120 м; d=50 мм=0,050 м; l=0,40 м; H=2,8 м. Определить: p1 . Решение. В соответствии с указаниями в п. 4.1 проведем расчетные сечения 1-1 перед соплом и 2-2 на выходе струи в атмосферу, а также плоскость сравнения по сечению 1-1.Составим уравнение Бернулли 2 2 p1 v1 p2 v 2 + = z2 + . + . z1 + Рис. 4.1 ρg 2 g ρg 2 g Имеем: - для сечения 1-1 - для сечения 2-2 z 1 = 0; z2 = l; p1изб = p1 ; p 2изб = 0. Из условия неразрывности (4.4) найдем v1 = v2 (d / D ) . Перепишем уравнение Бернулли, выразив входящие в него величины 4 p1 v22 ⎛ d ⎞ v22 + , ⎜ ⎟ =l+ ρg 2 g ⎝ D ⎠ 2g откуда получим 2 57 5. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ, НАСАДКИ И ГИДРОАППАРАТЫ 5.1. Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания Истечение через малые отверстия в тонкой стенке. Отверстие принято считать малым, если его диаметр d весьма мал по сравнению с напором Н. Под термином «тонкая» стенка следует понимать такую, толщина которой не превышает диаметра отверстия. На расстоянии l ≅ (0,5 – 1,0)d от плоскости отверстия образуется так называемое сжатое сечение струи (рис.5.1). Площадь сжатого сечения S c = εS , где S –площадь отверстия; ε - коэффициент сжатия. Скорость v в сжатом сечении и расход жидкости Q определяются формулами: v = ϕ 2 gH ; (5.1) Q = μS 2 gH , (5.2) где ϕ - коэффициент скорости, характеризующий уменьшение действительной скорости v по сравнению со скоростью невязкой (идеальной жидкости); μ = εϕ коэффициент расхода; H – расчетный напор, который в общем случае равен сумме геометрического и пьезометрического напоров, т.е. p − p2 H = H0 + 1 . (5.3) ρg Если истечение происходит из закрытого резервуара в атмосферу, числитель втоРис.5.1 рого слагаемого (5.3) представляет избыточное давление на поверхности жидкости в резервуаре; при истечении в атмосферу из открытого резервуара второе слагаемое обращается в нуль. Численные значения ϕ , μ и ε зависят от числа Рейнольдса. Для маловязких жидкостей (вода, бензин, керосин), истечение которых обычно происходит при достаточно больших числах Рейнольдса (Re > 10 5 ), коэффициенты истечения меняются в сравнительно небольших пределах, поэтому в расчетах можно пользоваться их средними для отверстия значениями ε = 0,64; ϕ = 0,97; μ = 0,62 . Если боковые стенки резервуара или трубы находятся на расстоянии менее трех диаметров от оси отверстия (рис.5.2), то их направляющее действие уменьшает степень сжатия струи ( ε увеличивается). Для круглого отверстия 65 площадью S при истечении из цилиндрического резервуара или трубы площадью S 1 , коэффициент сжатия струи можно определять по формуле ε = 0,64 + 0,36( S / S 1 ) 2 . При истечении жидкости в жидкую среду, например, в сообщающихся сосудах (истечение под уровень или через затопленное отверстие), скорость Рис. 5.2 истечения v и расход жидкости Q рассчитываются по тем же формулам (5.1) и (5.2), но в этом случае для расчетного напора H величина H 0 представляет собой разность уровней в сосудах. Значения коэффициентов истечения для затопленных отверстий можно принимать такими же, как и в случае истечения в газовую среду. Истечение через насадки. Насадком называют короткие трубки (патрубки) длиной (2–6) d, применяемые для улучшения процесса истечения жидкости. При этом скорость и расход определяются по формулам (5.1) и (5.2), но со своими коэффициентами ϕ и μ . Заметим, что для вертикально расположенных насадков при определении расчетного напора необходимо учитывать их длину. Так, для случая на рис. 5.1 имеем H = H 1 + l + ( p1 − p2 ) / ρg . Одним из наиболее распространенных является внешний цилиндрический насадок (рис. 5.3), для которого в приближенных расчетах, обычно, принимают ϕ = μ =0,82, ε =1,0. Благодаря наличию сжатого сечения, внутри насадка образуется вакуум, величина которого характеризуется вакуумметрической высотой hвак ≈ 0,75 H . Предельная величина вакуума в сжатом сечении ограничена значениями атмосферного давления pатм и давления насыщенных паров pн.п , которое зависит от рода жидкости и температуры. При значениях H, близhвак .пред p атм − p н.п = ких к , H пред = 0,75 0 ,75ρg Рис.5.3 нарушается сплошность движения, внутри насадка возникает кавитация. При H > H пред происходит срыв потока – струя отрывается от внутренней поверхности насадка, истечение будет происходить так же, как и через отверстие в тонкой стенке. Истечение при переменном напоре. Расчет опорожнения и заполнения емкостей, судовых отсеков и цистерн, площадь горизонтальных сечений которых велика по сравнению с площадью перепускных отверстий, арматуры производится без учета сил инерции в резервуарах и перепускных устройствах. Процесс истечения за бесконечно малый промежуток времени рассматривается 66 как установившийся. Мгновенный расход Q определяется при этом по формуле Q = μS 2 g( h + ( p1 − p2 ) / ρg ) , где μ - коэффициент расхода выпускного устройства, отнесенный к площади S выходного отверстия. Вместо μ может быть использован коэффициент потерь напора ζ на выпускном устройстве μ = 1 / ζ ; p1 , p2 - давление в резервуаре и в пространстве, куда происходит истечение жидкости (рис. 5.4). Для маловязких жидкостей коэффициенты μ и ζ можно принимать постоянными в течение всего процесса. Тогда время частичного опорожнения сосуда от начального условия H 1 до уровня H определится по формуле H Ω( h )dh 1 , t= ∫ μS 2 g H 1 h + ( p1 − p2 ) / ρg где Ω( h ) - площадь поверхности жидкости в Рис.5.4 резервуаре. Для призматического резервуара, у которого Ω(h) = Ω = const , при постоянстве p1 − p2 будем иметь ⎡ p − p2 ⎤ p1 − p2 − H+ 1 ⎢ H1 + ⎥. ρg ρg ⎥⎦ μS 2 g ⎢⎣ Время полного опорожнения резервуара в этом случае получим, приняв H=0. Истечение через гидроаппараты. В этом случае истечение всегда происходит в среду, заполненную той же самой жидкостью (истечение под уровень). При этом энергия, теряемая на вихреобразования, может быть учтена коэффициентом расхода μ . Поэтому расход Q жидкости через гидроаппараты (дроссели и клапаны) рассчитывают по формуле Q = μS 2 Δp / ρ , где S - площадь проходного сечения; Δp - перепад давления на рассматриваемом элементе; ρ - плотность жидкости. t= 2Ω Указания к решению задач: - при решении задач, рассматривающих работу гидроцилиндра, необходимо использовать уравнение равновесия поршня: сумма всех сил, приложенных к нему, равна нулю; - жидкость считать несжимаемой, а движение поршня - равномерным; - утечками и трением в цилиндре, а также весом поршней и штоков пренебречь; 67 - расход через последовательно соединенные элементы один и тот же, а при разделении потока его расход равен сумме расходов в ответвлениях. Следует иметь в виду, что в гидроцилиндре с односторонним штоком изза наличия штока расход жидкости по разные стороны поршня будет различным: Q1 = v п πD 2 / 4 - со стороны поршневой полости; 2 Q2 = vп π( D 2 − Dшт ) / 4 - со стороны штоковой полости. Здесь v п - скорость движения поршня; D и Dшт - диаметры поршня и штока. 5.2. Примеры решения задач Задача 5.2.1. Бак разделен на две секции переборкой, в которой имеется отверстие с острой кромкой (рис. 5.5). В левую секцию поступает вода в количестве Q=50 л/с. Из каждой секции вода вытекает через внешний цилиндрический насадок. Диаметры насадок и отверстия в переборке одинаковы и равны 60 мм. Определить расход воды через каждый насадок , полагая отверстие в переборке затопленным, а уровни воды в обоих секциях постоянными. Дано: Q=50 л/с=0,050 м 3 / с ; d=60 мм=0,060 м. Определить: Q л , Qп . Решение. 1. Из условия постоянства уровня Н имеем: расход через правый насадок Q п должен равняться расходу через отверстие, т.е. Qп = Q0 или πd 2 πd 22 2 gH 2 = μ 0 2 gH , (5.4) μн 4 4 где μ 0 , μ н - коэффициенты расхода через отверстие и внешний цилиндрический насадок. 2. Из условия постоянства уровней воды Рис.5.5 следует, что πd 2 πd 2 Q = Q л + Qп = μ н 2 g( H + H 2 ) + μ н 2 gH 2 . (5.5) 4 4 3. Из (5.4) имеем H = H 2 μ н2 / μ 02 . Подставим Н в (5.5): ⎞ ⎛ μ н2 πd 2 ⎟ ⎜ 2g H 2 2 + H 2 + μ н ⎟ ⎜ 4 μ0 ⎠ ⎝ Отсюда находим выражение для напора H 2 : πd 2 μн 4 H2 = 68 16Q 2 μ н2 π 2 d 4 ⋅ 2g ( μ н2 / μ 02 2 gH 2 = Q . ) +1 +1 2 . 6. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ 6.1. Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания По способам гидравлического расчета трубопроводы делятся на простые и сложные. Простым называется трубопровод, состоящий из одной линии труб постоянного или переменного сечения без ответвлений. Отличительной особенностью простого трубопровода является постоянство расхода в любом сечении по всей его длине. Сложным называется трубопровод, содержащий какоелибо ответвление (параллельное соединение труб или разветвление). Всякий сложный трубопровод можно рассматривать как совокупность нескольких простых трубопроводов, соединенных между собой параллельно или последовательно. Поэтому в основе расчета любого трубопровода лежит задача о расчете простого трубопровода. Движение жидкости в напорных трубопроводах происходит благодаря тому, что ее энергия (напор) в начале трубопровода больше, чем в конце. Этот перепад уровней энергии создается различными способами: работой насоса, за счет разности уровней жидкости, давлением газа и пр. Основными расчетными соотношениями для простого трубопровода являются: - уравнение Бернулли, устанавливающее соотношение между удельными (отнесенными к единице веса) энергиями жидкости в двух сечениях потока: p2 v 22 p1 v12 z1 + (6.1) + α1 = z2 + + α2 + ∑ h 1− 2 ; 2g 2g ρg ρg - уравнение расхода: (6.2) Q=const (вдоль потока) или v1 S1 = v 2 S 2 ; - формулы для расчета потерь напора на трение по длине трубы и в местных сопротивлениях: l v2 v2 hдл = λ и hм = ζ , (6.3) d 2g 2g которые после выражения скорости v через расход Q ( v = 4Q π d 2 ) принимают вид 8Q 2 l 8Q 2 hдл = λ и hм = ζ 2 4 . (6.4) d gπ 2 d 4 gπ d В формулах (6.1) - (6.4): z1 и z 2 - геометрические высоты центров тяжести сечений над произвольной горизонтальной плоскостью сравнения; p1 и p 2 - давления в центрах тяжести сечений; v1 и v 2 - средние скорости в сечениях; α1 и α 2 - коэффициенты кинетической энергии в сечениях (расчетные значения для потока в круглой трубе: α=2 - при ламинарном режиме, α =1 - при турбулентном); S1 и S 2 - площади 77 сечений; ρ - плотность жидкости; ∑ h1− 2 - суммарная потеря полного напора на пути от первого до второго сечения; l и d - длина и диаметр трубы; λ - коэффициент гидравлического трения; ζ - коэффициент местного сопротивления. Использование формул (6.3) связано с выбором коэффициентов гидравлического трения λ и местных сопротивлений ζ. Расчетные значения этих величин, а также коэффициенты кинетической энергии α , зависят от режима течения жидкости. Для определения режима необходимо найти число Рейнольдса: vd 4Q = (6.5) Re = ν πdν (здесь ν - кинематический коэффициент вязкости жидкости) и сравнить его с критическим значением Re кр =2300. Если Re ≤ Re кр , то режим течения ламинарный; при Re > Re кр - режим турбулентный. Ниже приведены расчетные формулы для коэффициента гидравлического трения λ при различных режимах течения. При ламинарном режиме λ л однозначно зависит от числа Рейнольдса: λ л = f (Re) = 64 Re . (6.6) При турбулентном режиме λ т в общем случае зависит от числа Рейнольдса Re и относительной шероховатости Δ / d : λ т = ƒ( Re, Δ / d ). Здесь Δ эквивалентная абсолютная шероховатость стенок трубы. Универсальной формулой, учитывающей одновременно оба фактора, является формула Альтшуля: 0,25 ⎛ 68 Δ ⎞ λ т = 0,11⎜ + ⎟ . (6.7) ⎝ Re d ⎠ При малых значениях Re и Δ / d (Re<20d/Δ) (6.7) обращается в формулу Блазиуса для так называемых гидравлически гладких труб: 0,316 . (6.8) λт = 4 Re Наоборот, при больших Re и Δ / d (6.7) принимает вид формулы Шифринсона для зоны квадратичного сопротивления: 0,25 ⎛Δ⎞ λ т = 0,11⎜ ⎟ . (6.9) ⎝d ⎠ Для удобства пользования формулой Альтшуля в прил. 5 приведен график λ т = ƒ (Re,Δ / d ) . Значения коэффициентов местных сопротивлений ζ в общем случае определяются геометрической формой сопротивления и величиной числа Рейнольдса. При ламинарном режиме коэффициент ζ зависит от обоих этих факторов, а при турбулентном режиме - только от формы местного сопротивления. Численные значения коэффициентов ζ находят в справочной литературе. При подсчете местных потерь по формуле (6.3) следует обращать внимание на ука78 зания, к какой скорости (до или после сопротивления) отнесены коэффициенты ζ. В задачах данного сборника коэффициенты ζ обычно заданы или приведены в приложении и отнесены к скорости после местного сопротивления. Исключение составляет коэффициент ζ вых (выход из трубы в резервуар), который отнесен к скорости перед местным сопротивлением. Как указано ранее, решение задач данного раздела связано с использованием уравнения Бернулли (6.1). При его применении в конкретном расчете необходимо учитывать приведенные в п. 4.1 рекомендации. К ним необходимо добавить следующее: - суммарную потерю напора ∑ h1− 2 следует представить подробно в виде суммы потерь на трение по длине и местных потерь, определяемых формулами (6.3) или (6.4). Для удобства расчетов введем понятие расчетного напора: р − р2 H = z1 − z 2 + 1 (6.10) . ρg Расчеты простых трубопроводов сводятся к трем типовым задачам: определению напора (или давления), расхода и диаметра трубопровода. Далее рассмотрена методика решения этих задач для простого трубопровода постоянного сечения. Задача I. Дано: размеры трубопровода l и d, шероховатость его стенок Δ , свойства жидкости (ρ , ν), расход жидкости Q. Определить: требуемый напор H (одну из величин, определяющих напор). Решение. 1. Составляется уравнение Бернулли с учетом приведенных рекомендаций. 2. Уравнение решается относительно H. Полученная расчетная формула содержит неизвестный коэффициент λ . 3. По формуле (6.5) определяется Re и устанавливается режим движения. 4. Находится значение λ по формуле (6.6) или (6.7) в зависимости от режима движения. 5. По формуле, полученной в пункте 2, определяется H и по (6.10) искомая величина. Задача II. Дано: размеры трубопровода l и d, шероховатость его стенок Δ , свойства жидкости ( ρ, ν ), напор H. Определить расход Q. Решение. 1. Составляется уравнение Бернулли с учетом приведенных рекомендаций. 2. Уравнение решается относительно искомой величины Q. Полученная формула содержит неизвестный коэффициент λ, зависящий от Re. Непосредственное нахождение λ в условиях данной задачи затруднено, так как при неизвестном Q не может быть заранее установлено Re. Поэтому дальнейшее решение задачи выполняется методом последовательных приближений. 79 3. Задается режим течения. Это можно сделать, основываясь на вязкости жидкости (вода, бензин, керосин, дизельное топливо - турбулентный режим; масло, нефть - ламинарный), но с последующей проверкой по результатам расчета. Можно также режим течения определить сразу однозначно, сравнивая расчетный напор Н с его критическим значением H кр ≈ 32 ν 2 l Re кр . (6.11) gd 3 Если НH кр режим - турбулентный. 4. При ламинарном режиме расход определяется из формулы 16Q 2 L 128νL λ = (6.12) Q, H= л d πgd 4 2 gπ 2 d 4 где L=l + ∑ l экв − приведенная длина трубопровода; l экв − эквивалентные длины местных сопротивлений при ламинарном режиме. В учебных задачах последние даются, как правило, в долях длины трубопровода. Проверяется режим течения. В случае турбулентного режима определяется значение λ I по формуле (6.9), полагая в первом приближении течение в зоне квадратичного сопротивления. Если сведения о шероховатости отсутствуют (заданы гидравлически гладкие трубы), то значение λ I можно задать, например, λ I =0,03. Принимая во внимание, что этот коэффициент изменяется в сравнительно узких пределах, большой ошибки при этом не будет. 5. Определяется Q I = ƒ( λ I ) в первом приближении по формуле, полученной в пункте 2. 6. Находится Re I =ƒ( Q I ) в первом приближении и определяется режим движения жидкости. 7. Уточняется значение λ II во втором приближении по формуле (6.7) в зависимости от Re I . 8. Определяется QII =ƒ( λ II ) во втором приближении по формуле пункта 2. 9. Находится относительная погрешность δ = (Qп − Q I ) / Q II ⋅100% . Если δ ≤ δ доп , то решение заканчивается (для учебных задач δ доп =5%). В противном случае выполняется решение в третьем приближении. Обычно бывает достаточно двух или трех приближений для получения приемлемой точности. Задача III. Дано: размеры трубопроводов (кроме диаметра d), шероховатость его стенок Δ , свойства жидкости (ρ, ν ), напор H, расход Q. Определить диаметр трубопровода. Решение. При решении этой задачи возникают затруднения с непосредственным определением значения λ, аналогичные задаче второго типа. Поэтому решение целесообразно выполнять графоаналитическим методом. 80 1. Задается несколько значений диаметров d1, d2 ,..., dn . 2. Для каждого значения di определяется соответствующее значение напора H при заданном расходе Q ( п раз разрешается задача первого типа). 3. По результатам расчета строится график H = ƒ(d). 4. По графику определяется искомый диаметр d, соответствующий заданному значению напора H. Методика решения задач первого и второго типа для простого трубопровода, состоящего из п последовательных участков различного диаметра, не отличается от изложенной выше. При этом для упрощения расчетных формул следует выражать скорости v i на каждом участке трубопровода через скорость vn на последнем участке или через расход Q. Используя уравнение расхода (6.2), получим 2 ⎛d ⎞ S Q 4Q vi = vn n = vn ⎜⎜ n ⎟⎟ или vi = . = Si S i πd i 2 ⎝ di ⎠ Необходимо также иметь в виду, что число Рейнольдса Re i , а следовательно, и коэффициент λ i на каждом участке такого трубопровода имеет свое значение. 6.2. Примеры решения задач Задача 6.2.1. Определить избыточное давление над поверхностью керосина (плотность ρ =808 кг/м 3 , кинематический коэффициент вязкости ν = 0,025 Ст) при его истечении из закрытого резервуара в атмосферу по трубопроводу длиной l = 5,0 м и диаметром d = 35 мм, если расход Q = 2,5 л/с. Коэффициент сопротивления вентиля ξ вент = 4 ,0 . Шероховатость стенок трубы Δ = 0,05 мм. Уровень жидкости в резервуаре считать постоянным и равным H 0 = 2,0 м (рис.6.1). Дано: l = 5,0 м; H 0 = 2,0 м; ρ = 808 кг/м 3 ; ζ вент = 4,0; Δ = 0,05 мм = 0,05 ⋅10 −3 м; d = 35 мм = 35 ⋅10 −3 м ; ν = 0,025 Ст = 2,5 ⋅10 −6 м 2 / с ; Q = 2,5 л/с = 2,5 ⋅10 −3 м 3 / с . Определить: ри. Рис. 6.1. Решение. 1. Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0: p1 v12 p2 v22 z1 + + α1 = z2 + + α2 + ∑ h 1− 2 . ρg ρg 2g 2g 81 7. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ К ЖИДКОСТЯМ 7.1. Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания Теоремы об изменении количества движения и момента количества движения применяют для решения гидромеханических задач, в которых требуется определить главный вектор или главный момент сил взаимодействия между жидкостью и движущимися в ней телами (внешняя задача гидромеханики) или потоком жидкости и ограничивающими его твердыми стенками (внутренняя задача). Эти теоремы являются общими теоремами механики, поэтому они применимы как к невязкой, так и к реальной вязкой жидкости. Для установившегося течения теорема об изменении количества движения в векторной форме записывается в виде (7.1) ∫ ρv п v dS = F , Sк или в проекциях на оси прямоугольных координат ∫ ρv п v x dS = Fx , ∫ ρv п v y dS = F y , ∫ ρv п v z dS = Fz , Sк Sк Sк где S к - замкнутая контрольная поверхность, охватывающая выделенный объем жидкости (в плоских задачах – замкнутый контур); ρ - плотность жидкости; v п - проекция скорости на внешнюю нормаль к поверхности S к по отношению к выделенному объему; v , v x , v y , v z - скорость в центре площадки dS и ее проекции; F , Fx , F y , Fz - главный вектор сил, действующих на выделенный объем жидкости, и его проекции. Главный вектор F в общем случае состоит из главного вектора массовых Fм и поверхностных Fп сил. В обычных условиях массовой силой является сила тяжести, равнодействующая которой - вес жидкости G внутри контрольной поверхности. Главный вектор поверхностных сил представляет собой результат воздействия нормальных (давления) и касательных напряжений. При решении задач с помощью теорем об изменении количества движения контрольную поверхность подразделяют на две части. По первой части S к′ , известно распределение v, p и могут быть вычислены как поток количества движения, так и интеграл давлений. Заметим, что в невязкой жидкости касательные напряжения равны нулю, а в реальной вязкой жидкости на поверхности S к′ они невелики (в отличие от поверхности тела), поэтому при вычислении главного вектора поверхностных сил рассматривают только давления для невязкой жидкости. 95 Вторая часть контрольной поверхности S к′′ представляет собой поверхность, на которую по условиям задачи необходимо вычислить равнодействующую гидродинамических сил. На рис. 7.1 приведены примеры выделения расчетного объема жидкости контрольной поверхностью. Первая схема (рис. 7.1, а) применяется для определения главного вектора гидродинамических сил, приложенных к твердому телу со стороны окружающего его потока. Контрольная поверхность представляет собой S к = S к′ + S к′′ = S1 + S т , где S 1 - замкнутая поверхность вдали от тела; S т - непроницаемая поверхность тела. Рис. 7.1 Вторая схема (рис. 7.1, б) используется для вычисления главного вектора и главного момента гидродинамических сил, приложенных к стенкам канала, ограничивающего поток. Объем жидкости V внутри канала выделяется контрольной поверхностью S к = S к′ + S к′′ = ( S1 + S 2 ) + SБ, где S 1 и S 2 - сечения канала на входе и выходе; SБ- поверхность стенок канала. Схема рис.7.1, в может быть использована в задаче определения силы воздействия свободной струи на преграду. Контрольная поверхность образована боковой поверхностью струи, тремя поперечными сечениями S к′ = S1 + S 2 + S3 + SБ и поверхностью преграды S к′′ = S т . Воздействие жидкости при установившемся течении на твердое тело, находящееся в выделенном объеме, или на твердые стенки, ограничивающие часть этого объема, в случае, когда массовыми силами можно пренебречь, определяется по формуле Fж = − ∫ ρvn v dS − ∫ pn dS , (7.2) S к′ S к′ или в проекциях на оси координат Ox и Oy: Fжx = − ∫ ρvn v x dS − ∫ p cos(n, x)dS ; Fжy = − S к′ S к′ ∫ ρvn v y dS − ∫ p cos(n, y)dS . S к′ S к′ (7.3) Здесь p – избыточное гидродинамическое давление. Момент М ж гидродинамической реакции воздействия жидкости на тело относительно выбранного полюса определяют по формуле 96 M ж = − ∫ ρ( r × v )v п dS − Sк′ ∫ p( r × n )dS , (7.4) Sк′ где r - радиус-вектор из полюса в центр площадки dS . При решении задач с помощью теорем об изменении количества движения и момента количества движения может возникнуть необходимость в одновременном использовании уравнений неразрывности (4.4), Бернулли (4.5) и Эйлера (4.2) для невязкой жидкости, Бернулли (6.1) для потока реальной жидкости. Поток количества движения ( ∫ ρv п v dS ) и поток момента количества Sк′ движения ( ∫ ρ(r × v )vn dS ) – величины векторные и могут для замкнутой поS′ верхности отличаться от нуля за счет изменения только величины скорости или ее направления, а в более общем случае – в результате одновременного изменения величины скорости и ее направления. При вычислении потока количества движения и его момента для плоских участков контрольной поверхности, на которых угол между направлением скорости и внешней нормалью остается постоянным, вводится понятие о коэффициенте неравномерности количества движения β , позволяющем вычисления интегралов для несжимаемой жидкости производить с помощью средней по сечению скорости: ∫ ρvп v x dS = ρ cos(v, n) cos(v, x) ∫ v S AB где v ср = 2 2 dS = ρ cos(v, n) cos(v, x)βvср S , (7.5) S AB ∫ vdS / S AB - средняя по сечению скорость. Для сечения, нормального S AB к линям тока, cos( v, n ) = ±1. Для результирующей силы воздействия потока на стенки неподвижного канала (рис. 7.2) при установившемся движении жидкости в случае достаточно равномерного распределения скоростей в сечениях канала уравнение (7.2) может быть приведено к виду: Fж = ρQv1 − ρQv 2 − p1 n1 S1 − p 2 n 2 S 2 + G , (7.6) где ρQ v1 и ρQ v2 - векторы секундных количеств движения потока, т.е. количеств движеРис. 7.2 ния массы жидкости, протекающей в единицу времени через входное и выходное сечения канала; Q – расход; G – вес жидкости, заполняющей канал. Вектор Fст = − p1 n1 S1 − p 2 n 2 S 2 + G - статическая составляющая реакции потока, вектор Fд = ρQv1 − ρQv 2 - динамическая составляющая реакции потока на стенки канала. При вычислении статической составляющей обычно используют избыточные давления. Силу Fж удобно 97 определять через ее проекции на координатные оси, при этом на оси проецируются v1 , v 2 , n1 , n 2 , G . Если рассматривается установившееся движение жидкости в канале, перемещающемся прямолинейно и поступательно с постоянной скоростью v 0 , то сила Fж определяется из уравнения (7.6), в котором динамическая реакция потока равна изменению его секундного количества движения, вычисляемого по отношению к подвижным стенкам: Fж = ρQw1 − ρQw2 − p1 n1 S1 − p 2 n 2 S 2 + G , (7.7) где w1 и w2 - векторы относительных скоростей во входном и выходном сечениях канала. При решении задачи со свободной струей (см. рис. 7.1, в) следует учитывать, что давление на всей контрольной поверхности, кроме поверхности преграды, равно атмосферному. Сила давления струи на преграду определяется по избыточному давлению, поэтому второй интеграл в (7.2) оказывается равным нулю. Для определения точки приложения результирующей силы воздействия струи используют допущение, что вектор ρQ v приложен посередине рассматриваемого сечения. Величина реактивной силы Fp струи, приложенной к соплу, определяется формулой Fр = −ρQ vист , где vист - относительная скорость истечения жидкости из сопла, ось которого не поворачивается. Если сопло является частью канала, то используется схема рис. 7.1, б или рис. 7.3. Рассмотрим установившееся движение жидкости по каналу, который вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью w (рис. 7.3). Распределение относительных скоростей w частиц жидкости по сечениям S 1 и S 2 примем равномерным. В этом случае динамический реактивный момент действия потока на стенки канала относительно оси его вращения может быть получен из (7.4) как изменение секундного момента количества движения потока (7.3): M ж = ρQ( r1v u1 − r2 v u2 ) , (7.8) где r1 и r2 -радиусы вращения центров входного и выходного сечений канала; vu1 = v1 cos α1 и vu 2 = v2 cos α 2 - окружные составРис.7.3 ляющие абсолютных скоростей потока v1 и v2 в указанных точках входа и выхода из канала. Величина переносной скорости в этих же точках канала находится, как u1 = ωr1 и u 2 = ωr2 . 98 Для определения относительных скоростей используют уравнение расхода w1 S1 = w2 S 2 и уравнение Бернулли для относительного движения жидкости во вращающемся канале: p1 w12 u12 p 2 w22 u 22 z1 + + − = z2 + + − + hп , (7.9) ρg 2 g 2 g ρg 2 g 2 g где потеря напора может быть выражена через суммарный коэффициент потерь hп = ζw 2 / 2 g . 7.2. Примеры решения задач Задача 7.2.1.Найти усилие, вызываемое течением воды в схематизированной системе охлаждения судовой энергетической установки (рис. 7.4). Расход охлаждающей воды Q = 1,0 м 3 / с . Площадь сечения водозаборника S1 = 1,0 м 2 , площадь выходного сечения, которое можно считать плоским, S 2 = 1,2 м 2 . Угол между нормалью выходного сечения и диаметральной плоскостью ε = 75 о . Истечение воды происходит под углом δ = 45 о . Закон распределения скорости во входном сечении соответствует коэффициенту кинетической энергии α1 =1,10 и неравномерности количества движения β1 =1,05; в выходном сечении - α 2 =1,25; β 2 =1,10. Избыточное давление во входном сечении p1 =10 кПа, коэффициент суммарного сопротивления канала, отнесенный к средней скорости на входе, ζ =4,6. Течение можно считать происходящим в горизонтальной плоскости. Рис. 7.4 Дано: Q = 1,0м 3 / с; α 1 = 1,10; S1 = 1,0м 2 ; α 2 = 1,25; S 2 = 1,2м 2 ; β1 = 1,05; p1 = 10кПа = 10 ⋅10 3 Па; β 2 = 1,10; ρ = 10 3 кг / м 3 ; ε = 75 о ; δ = 45 о ; ζ = 4,6. Определить: Fж . Решение. Так как в задаче требуется определить равнодействующую гидродинамических сил, а не закон распределения давления по внутренней по99