Постоянная тонкой струны

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Величина ( $\alpha$ ), равная некоторой комбинации постоянных величин:

где ${\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}^{-12}\frac{Ф}{м}$ , $\hbar =1,05\ \cdot {10}^{-34}Дж\cdot с$ , $q_e=1,6\cdot {10}^{-19}Кл$ , $c=3\cdot {10}^8\frac{м}{с}$ называется постоянной тонкой структуры или постоянной Зоммерфельда. Подставляем в уравнение (1) вышеперечисленные постоянные величины, получаем:

Постоянная тонкой структуры является безразмерной фундаментальной величиной, не зависящей от системы единиц. Она имеет фундаментальный смысл в физике, так как определяет электрический заряд в некоторых естественных единицах, не имеющих размерности. Электрический заряд -- мера интенсивности электромагнитного взаимодействия. Следовательно, постоянная тонкой структуры может служить мерой электромагнитного взаимодействия. Небольшое абсолютное значение $\alpha$ означает то, что электромагнитное взаимодействие относится к слабым взаимодействиям. Данный факт положен в основу квантовой электродинамики, которая рассматривает электромагнитное взаимодействие в теории возмущений относительно малой величины $\cdot \alpha$ .

В настоящее время выделяют четыре типа фундаментальных взаимодействий частиц: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Любое из этих фундаментальных взаимодействий характеризуют механизмом протекания, временем течения, интенсивностью и радиусом действия (табл.1). При этом интенсивность всех взаимодействий сравнивается с интенсивностью электромагнитного взаимодействия, которое, как уже говорилось, определяется безразмерным параметром $\alpha$ . В таком подходе интенсивности взаимодействия являются относительными.

Рисунок 1.

Зоммерфельд ввел постоянную тонкой структуры как отношение скорости электрона на первой круговой орбите модели атома Бора к скорости света:

Эту постоянную определяют, кроме того, как соотношение энергий:

«Постоянная тонкой струны» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Энергия электрона ( $E_n$ ), который движется по стационарной орбите номер $n$ , определена как:

Используя определение постоянной $\alpha$ в виде (1), имеем:

введем произведение (4) в формулу (3), получим:

Выразим постоянную Зоммерфельда:

где $E_0=m_ec^2$ -- собственная энергия электрона.

Постоянная Зоммерфельда является характеристикой тонкой структуры линий спектра. С использованием данной постоянной определяют размер маленького расщепления энергоуровней атома, то есть возникновения близких частот в линиях спектра прямо пропорционального ${\alpha }^2.\$ Данное расщепление возникает вследствие взаимодействия $2x$ электронов атома (электроны обмениваются виртуальными фотонами), при этом происходит изменение энергии.

Постоянную тонкой структуры иногда определяют как:

где $q_p$ - $\sqrt{4\pi {\varepsilon }_0\hbar c}=\sqrt{2{\varepsilon }_0hc}$ = $1,87554\cdot {10}^{-18}Кл$ -- планковский заряд.

Пример 1

Задание: Каково отношение радиуса основной орбиты электрона в модели Бора, комптоновской длины волны для него же и постоянной тонкой структуры? Рассмотри атом водорода.

Решение:

Запишем выражение для радиуса первой орбиты электрона в водороде ( $Z=1,\ n=1$ ):

$r_0=\frac{4\pi \varepsilon_0{\hbar }^2}{q^2_em_e}\left(1.1\right).$

Выражение для комптоновской длины волны электрона будет иметь вид:

${\lambda }_k=\frac{h}{m_ec}\left(1.2\right).$

Разделим выражение (1.2) на (1.1), имеем:

$\frac{{\lambda }_k}{r_0}=\frac{h}{m_ec}:\frac{4\pi {\varepsilon }_0{\hbar }^2}{q^2_em_e}=\frac{h}{m_ec}\cdot \frac{2\pi q^2_em_e}{4\pi h\hbar {\varepsilon }_0}=\frac{2\pi q^2_e}{4\pi \hbar c{\varepsilon }_0}\left(1.3\right).$

Из определения константы Зоммерфельда имеем:

$\alpha =\frac{q^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0c\hbar }\left(1.4\right).$

Используя выражение (1.4) перепишем формулу (1.3), получаем:

$\frac{{\lambda }_k}{r_0}=2\pi \alpha .$

Ответ: $\frac{{\lambda }_k}{r_0}=2\pi \alpha .$

Пример 2

Задание: Атом водорода покоился до того момента пока не излучил фотон частота которого, соответствует головной линии серии Лайма. Выразите скорость движения атома сразу после испускания фотона. Как она связана с постоянной тонкой структуры?

Решение:

С одной стороны, импульс атома можно определить как:

$p_{at}=m_{at}v_{at}\left(2.1\right).$

Импульс фотона вычислим в соответствии с выражением:

$p_f=\frac{2\pi \hbar }{\lambda }=m_ev\left(2.2\right).$

где длину волны, в свою очередь представим как:

$\lambda =\frac{2\pi c}{\omega }\left(2.3\right).$

Частоту выразим, используя формулу спектральной серии Лаймана для головной линии:

$\omega =\frac{m_eq^4}{2{(4\pi )}^2{{\varepsilon }_0}^2{\hbar }^3}\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)=\frac{3}{4}\cdot \frac{m_eq^4}{2{\cdot (4\pi )}^2{{\varepsilon }_0}^2{\hbar }^3}\ \left(2.4\right).$

Из закона сохранения импульса имеем:

$m_{at}v_{at}=m_ev\ \left(2.5\right).$

Используя выражения (2.3) -- (2.4), преобразуем формулу (2.5):

$m_{at}v_{at}=\frac{\hbar }{c}\frac{3}{4}\cdot \frac{m_eq^4}{2{(4\pi )}^2{{\varepsilon }_0}^2{\hbar }^3}\left(2.6\right).$

Из выражения (2.6) получим для скорости атома:

$v_{at}=\frac{3}{4}\frac{\hbar }{m_{at}c}\frac{m_eq^4_e}{2{(4\pi )}^2{{\varepsilon }_0}^2{\hbar }^3}=\frac{3}{8}\frac{m_e}{m_{at}}\frac{q^4_e}{{(4\pi )}^2{{\varepsilon }_0}^2c{\hbar }^2}=\frac{3}{8}\frac{m_e}{m_{at}}c{\alpha }^2\left(2.7\right).$

где постоянная тонкой структуры определена как: