Распространение световых волн в анизотропных средах

Особенности распространения электромагнитной волны в анизотропной среде

Векторы поля плоской волны света можно представить как:

Подставив выражения (1) в уравнения Максвелла, получим формулы:

Волновой вектор $\overrightarrow{k}$ указывает направление распространения фронта волны, то есть, нормален к поверхности одинаковой фазы. Фазовая скорость ($\overrightarrow{v}$) совпадает по направлению с $\overrightarrow{k}$. Направление распространения волны задают вектором $\overrightarrow{n}$, определяемым как:

Из уравнений ($2.c$) и ($2.d$) следует, что волна распространяется перпендикулярно векторам $\overrightarrow{D}\ $и $\overrightarrow{H}.$ Из определения вектора Умова -- Пойнтинга ($\overrightarrow{P}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}$), следует, что поток энергии направлен перпендикулярно векторам $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{H}$. Направление потока энергии в световой волне называют лучом. В общем случае, направление движения волны и направление потока энергии не совпадает. Энергия электромагнитной волны движется с групповой скоростью. Обозначим единичный вектор в направлении луча как:

Тогда можно сказать, что групповая скорость $\overrightarrow{u}$ волны совпадает с направлением $\overrightarrow{\tau }$.

Итак, первой особенностью распространения электромагнитной волны в анизотропной среде является то, что, так как векторы $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ не коллинеарны, направление луча и распространение волны не совпадают (направление групповой и фазовой скорости не совпадают). Уравнение, связывающее векторы $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ можно представить в виде:

Второй особенностью распространения волн света в анизотропной среде является то, что их скорость зависит от направления распространения и поляризации.

Связь фазовой скорости и направления распространения волны

Пусть волна распространяется по оси $Z$, Ось $Z$, в свою очередь, является одной из главных осей тензора диэлектрической проницаемости (${\varepsilon }_{ij}$). Допустим, что вектор $\overrightarrow{D}$ коллинеарен оси $X$ (это значит, что $D_x\ne 0,\ D_y=D_z=0$) и, значит, вектор $\overrightarrow{H}$ коллинеарен оси $Y$. При этом имеем: $E_x=\frac{D_x}{{\varepsilon }_0{\varepsilon }_x},\ E_y=E_z=0.\ $Уравнения (2 a,b) принимают вид:

Перемножим левые части уравнений (6.a) и (6.b) и правые части, получим:

Из выражения (7) следует, что:

Из выражения (8) фазовая скорость равна:

где индекс $x$ у фазовой скорости значит, что это скорость волны, векторы которой $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ коллинеарны оси X. В случае коллинеарности $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ оси $Y$, имеем:

Так как в общем случае ${\varepsilon }_x\ne {\varepsilon }_y$, то делаем вывод о том, что фазовая скорость волны отлична для двух направлений колебаний вектора $\overrightarrow{E}$. Следовательно, в направлении оси $Z$ распространяются только волны, в которых векторы $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ совершают колебания параллельно либо оси $X$, или оси $Y$.

Фазовую скорость можно найти, используя уравнение Френеля:

где $v_i$ -- главные скорости распространения волны (фазовая скорость волны , соответствующая оси $X_i).$ Надо отметить, что она не является проекцией фазовой скорости волны на ось $X_i$, а характеризует фазовую скорость волны векторы $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ в которой коллинеарны данной оси. $v=\frac{\omega }{k},$ $n_i:\ n_1,\ n_2,n_3$ -- направляющие косинусы. Решение уравнения (5) дает фазовую скорость ($v$) как функцию от $n_i\ и\ v_i$.

Фазовую скорость часто выражают как функцию от направления вектора $\overrightarrow{D}.$ Если обозначить единичный вектор $\overrightarrow{d}$, определяемый как:

то выражение для модуля фазовой скорости можно записать как:

что означает, фазовая скорость определяется направлением вектора электрического смещения.