Реализация Фурье - образа
Если световая волна $E_0$ распространяется по оси $Z$ и попадает на экран, который совпадает с плоскостью $z=0$. При этом амплитудный коэффициент пропускания экрана равен $\tau \left(x,y\right).\ $В таком случае сразу за экраном поле волны, которая прошла через преграду ($E_{\tau }$) равно:
При этом в соответствии с теоремой Фурье функция $E_{\tau }\left(x,y\right)$ представляется как:
Выражение (2) обозначает, что световое поле представлено как суперпозиция плоских волн, чьи амплитуды обозначены $F\left(u,v\right)-пространственный\ спектр$. Данные амплитуды определяются пространственным преобразованием Фурье вида:
где $u=\frac{cos\alpha }{\lambda }$, $v=\frac{cos\beta }{\lambda }$, ($\alpha \ и\ \beta $ -- углы между волновым вектором и соответствующими осями $X$ и $Y$) -- пространственные угловые частоты. Данные частоты определяют количество периодов колебания на единицу длины вдоль соответствующей оси. Кроме того пространственные частоты задают направление распространения плоской волны. Следует заметить, что выполняется равенство:
для направляющих косинусов любого вектора.
Получается, что если световая волна дифрагирует на относительно большие углы (относительно оси $Z$), то излучение содержит высокие пространственные частоты. И наоборот. Если волна распространяется по оси $Z$, то ей соответствует нулевая пространственная частота. Получается, что для того чтобы решить задачу Фраунгофера достаточно найти пространственный спектр волнового поля за экраном, который определен уравнением (1) и равен свертке спектров падающей волны $E_0\left(x,y\right)\ $и коэффициента пропускания экрана. Если $E_0\left(x,y\right)$ является плоской волной, ее поле не зависит от поперечных координат, угловой спектр совпадет с угловым спектром пропускания экрана.
Образование изображений и преобразование Фурье - это проявление явления дифракции.
Картина дифракции Фраунгофера -- Фурье образ
Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать, если выполняется условие для дальней зоны в фокальной плоскости оптической системы:
где $l$ -- расстояние от препятствия (отверстия) до экрана, $b$ -- ширина щели (диаметр/радиус).
Рассмотрим плоскость $P$, которой принадлежит излучающая поверхность $S$, плоскость наблюдения при этом будет $P'$. Расстояние между этими плоскостями равно $z$ (рис.1).
Рисунок 1.
Допустим, что вне излучающей поверхности $E\left(x,y\right)=0$, причем размеры $S$ много меньше, чем расстояние $l$.
В таком случае расстояние $r_0$ можно представить как:
Для $E(P')$ можно записать выражение:
Если расстояние $l$ велико ($l\gg k\frac{x^2+y^2}{2}$) то выражение (7) преобразуется к виду:
Выражение (8) с фурье -- образ распределения поля на поверхности S для функций пространственных частот $u$ и $v$, которые равны:
Надо отметить, что для дифракции Фраунгофера нет комплексного коэффициента усиления, так как нарушено условие пространственной инвариантности поля.
Примеры Фурье-образов
Плоская волна совершает дифракцию Фраунгофера на круглом отверстии. Формой сигнала является круг, пусть его радиус равен $R$. Фурье -- образ такого сигнала (с точностью до постоянной):
\[F\left(u,v\right)=\frac{J_1\left(R\rho \right)}{\rho }e^{iu\triangle x+iv\triangle y},\]где $\rho =\sqrt{u^2+v^2}$, $J_1\left(R\rho \right)$ -- функция Бесселя первого рода и первого порядка (данная функция действительная и четная), $\triangle x,\ \triangle y$ -- смещения сигнала по соответствующим осям. Если смещения $\triangle x=\ \triangle y=0$ Фурье -- образ действительный и четный. Смещение - фазовая добавка, при ее наличии модуль Фурье -- образа не изменяется, соответственно вид картины дифракции, который пропорционален его квадрату, сохраняется.
Задача о дифракции на круглом отверстии имеет практический интерес, так как оправы и диафрагмы множества приборов в оптике имеют круглую форму. Решение подобной задачи, обычно, ищут в цилиндрической системе координат. При этом применяют двойное интегрирование по радиальной и азимутальной переменным.
Результатом дифракции получают аксиально -- симметричную картину с ярким световым пятном в центре (диск Эйри). Диск Эри содержит почти $84\%$ световой энергии.
Плоская волна совершает фраунгоферову дифракцию на квадратном отверстии со стороной $2a$. Формой сигнала соответственно будет квадрат. Фурье -- образ подобного сигнала имеет вид:
\[F\left(u,v\right)=\frac{{sin \left(au\right)\ }}{u}\frac{{sin \left(av\right)\ }}{v}e^{i\left(u\triangle x+v\triangle y\right)},\]$\triangle x,\ \triangle y$ -- смещения сигнала по соответствующим осям. Функция $\frac{sin(x)}{x}$ действительная и четная, в случае $\triangle x=\ \triangle y=0$ Фурье -- образ будет действительным и четным. Если смещение не равно нулю, то в Фурье -- образе появляются дополнительные осцилляции, но при этом модуль Фурье -- образа не изменяется. Вид картины дифракции сохраняется.
Дифракция в опыте Юнга -- это дифракция Фраунгофера плоской волны на двух круглых отверстиях. Фурье - образ подобного сигнала имеет вид:
\[F\left(u,v\right)=\frac{J_1\left(R\rho \right)}{\rho }\left\{exp\left(iu\triangle x_1+iv\triangle y_1\right)+exp\left(iu\triangle x_2+iv\triangle y_2\right)\right\},\]где $\rho =\sqrt{u^2+v^2}$, $J_1\left(R\rho \right)$ -- функция Бесселя первого рода и первого порядка, $x_1,\ y_1$; $x_2,\ y_2$ -- координаты центров кругов. Вид квадрата Фурье -- образа -- кольца, которые соответствуют кругу радиуса $R$. Они промодулированы полосами, находящимися на равном расстоянии. Полосы перпендикулярны линии, которая соединяет центры кругов. Расстояние между полосами обратно пропорционально расстоянию между кругами.
