Площадь треугольника

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

На данной странице вы сможете не только ознакомиться со всеми формулами нахождения площади треугольника, но и воспользоваться достаточно удобными калькуляторами и рассмотреть примеры решения задач. Это очень рационально и полезно для того, чтобы вспомнить уже давно забывшиеся формулы и сверить свой ответ с ответом необходимого калькулятора.

Площадь треугольника по основанию и высоте

Формула площади треугольника по основанию и высоте выглядит, как

$S = \frac{1}{2}\cdot a \cdot h$ , где

$S$ - площадь,

$a$ - основание,

$h$ - высота.

Рассмотрим наглядно на примере, в котором используется данная формула, как просто и быстро самостоятельно или с помощью калькулятора вычислить площадь в одно действие по данным элементам.

Пример 1

Дано: основание - $6$ , высота - $10$ .

Найти: площадь треугольника.

Решение:

$S = \frac12 \cdot 6 \cdot 10$

$S = 30$ .

Ответ:

$S = 30$ .

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними выглядит следующим образом:

$S = \frac12 \cdot a \cdot b \cdot \sin (α)$ , где

$S$ - площадь треугольника,

$a$ - сторона номер 1,

$b$ - сторона номер 2,

$α$ - угол между сторонами 1 и 2.

По радиусу описанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам вычисляется по следующей формуле:

$S = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}$ , где

$S$ - площадь треугольника,

$a, b, c$ - стороны треугольника,

$R$ - радиус описанной около данного треугольника окружности.

Ну а теперь рассмотрим на примере, как найти площадь треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности. Как быстро и без лишних действий самостоятельно найти какие-либо ошибки в своем решении с помощью данного калькулятора и сверить ответы.

Пример 2

Дано: сторона $a = 5$ см, сторона $b = 6$ см, сторона $c = 10$ см, радиус $R = 6$ см.

Найти: площадь $S$ .

Решение:

$S = (5 \cdot 6 \cdot 10) / (4 \cdot 6) = 12,5$ см $^2$ .

Ответ:

$S = 12,5$ см $^2$ .

По радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Формула площади треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам выглядит, как:

$S = r \cdot \frac{a + b + c}{2}$ , где

$S$ - площадь треугольника,

$a, b, c$ - стороны треугольника,

$r$ - радиус вписанной в данный треугольник окружности.

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними вычисляется следующим образом:

$S = \frac {1}{2} \cdot b^2 \cdot \sin (y)$

или

$S = \frac{a \cdot b \cdot \sin (γ)}{2}$ , где

$S$ - площадь треугольника,

$a, b$ - равные стороны треугольника,

$γ°$ - угол между сторонами a и b.

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Площадь равностороннего треугольника по стороне вычисляется по следующей формуле:

$S = \frac{\sqrt3}{4} \cdot b^2$ , где

$S$ - площадь треугольника,

$b$ - любая сторона данного треугольника.

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Площадь равностороннего треугольника по высоте вычисляется следующим образом:

$S = \frac{h^2}{\sqrt3}$ , где

$S$ - площадь треугольника,

$h$ - высота данного треугольника.

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности вычисляется по следующей формуле:

$S = 3 \cdot \sqrt3 \cdot R^2$ , где

$S$ - площадь треугольника,

$R$ - радиус вписанной в данный треугольник окружности.

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Формула площади равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности выглядит следующим образом:

$S = \frac{3 \cdot \sqrt3}{4} \cdot R^2$ , где

$S$ - площадь треугольника,

$R$ - радиус описанной около данного треугольника окружности.

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам выглядит как:

$S = \frac12 \cdot a \cdot b$ , где

$S$ - площадь треугольника,

$a$ - первый катет данного треугольника,

$b$ - второй катет данного треугольника.

Решим пример задачи на нахождение площади прямоугольного треугольника, в которой известны два катета, чтобы наглядно убедиться в правильности своего личного решения или решения данного калькулятора.

Пример 3

Дано: катет $a = 5$ см, катет $b = 6$ см.

Найти: площадь $S$ .

Решение:

$S = (5 \cdot 6) / 2 = 15$ см $^2$ .

Ответ:

$S = 15$ см $^2$ .

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам

Формула вычисления площади прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность выглядит следующим образом:

$S = d \cdot e$ , где

$S$ - площадь треугольника,

$d$ - первый отрезок на гипотенузе, отделенный вписанной в данный треугольник окружностью,

$e$ - второй аналогичный отрезок.

Для того, чтобы сверить свой ответ и решение с данным калькулятором и найти какие-либо свои ошибки или недочеты, будет полезно рассмотреть пример решения данной задачи на нахождение площади прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность.

Пример 4

Дано: отрезок $z = 5$ см, отрезок $q = 8$ см.

Найти: площадь $S$ .

Решение:

$S = 5 \cdot 8 = 40$ см $^2$ .

Ответ:

$S = 40$ см $^2$ .