Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Объем пирамиды

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Объем пирамиды

На данной странице представлены формулы и онлайн-калькуляторы для нахождения объёма различных видов пирамид: правильной треугольной, четырёхугольной, правильного тетраэдра, а также для правильной пирамиды, в основании которой лежит многоугольник.

Для того чтобы воспользоваться онлайн-калькулятором, введите известные вам данные в поля для ввода.

Начнём с тетраэдра. Тетраэдром называют любую треугольную пирамиду.

Определение 1

Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, все грани которой являются правильными треугольниками, а стороны равны между собой.

Объём правильного тетраэдра

Объём правильного тетраэдра

Расчёт объёма правильного тетраэдра осуществляется по формуле:

$V = \frac{b^3 \cdot \sqrt2}{12}$, где

$b$ — длина стороны тетраэдра.

Пример 1

Дано:

Сторона $b$ правильного тетраэдра равна $3$ см. Рассчитайте, чему равен объём этой треугольной пирамиды.

Решение:

$V = \frac{3^3 \cdot \sqrt2}{12} =\frac{3^2 \cdot \sqrt2}{4} ≈ 3.18$.

Ответ:

Объём составит $3.18$ кубических сантиметров.

Готовые работы на аналогичную тему

Перейдём к более общему случаю вычисления объёма правильной треугольной пирамиды.

Определение 2

Правильной треугольной пирамидой называют пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а все остальные грани являются равнобедренными треугольниками.

Объём правильной треугольной пирамиды

Объём правильной треугольной пирамиды

Расчёт объёма правильной треугольной пирамиды осуществляется по формуле:

$V = \frac{h \cdot b^2 }{4 \cdot \sqrt3}$, где

$h$ — высота правильной треугольной пирамиды;

$b$ — сторона её основания.

Следующий вид пирамиды — правильная четырехугольная пирамида.

Определение 3

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, а грани её также являются равнобедренными треугольниками.

Объём правильной четырехугольной пирамиды

Объём правильной четырехугольной пирамиды

Расчёт объёма правильной четырёхугольной пирамиды можно осуществить по формуле:

$V = \frac13 \cdot h \cdot b^2$, где

$h$ — высота правильной четырёхугольной пирамиды;

$b$ — сторона её основания.

Пример 2

Дано:

Высота $h$ правильной четырёхугольной пирамиды равна $7$ см, а сторона её основания $b$ — $6$ см. Рассчитайте, чему равен объем этой четырехугольной пирамиды, используя приведённую формулу.

Решение:

$V = \frac13 \cdot 7 \cdot 6^2 = 84$.

Ответ:

Объём пирамиды составит $84$ кубических сантиметров.

Также рассмотрим общий случай правильной пирамиды.

Определение 4

Правильной пирамидой называют такую пирамиду, в основании которой лежит правильный многоугольник, все стороны которого равны, а количество его сторон равно n.

Объём правильной пирамиды с многоугольником в основании

Объём правильной пирамиды с многоугольником в основании

Расчёт объёма правильной пирамиды, в основании которой лежит многоугольник с $n$-гранями, осуществляется по формуле:

$V = \frac13 \cdot S \cdot h$, где

$S$ — площадь многоугольника;

$h$ — высота пирамиды.

При этом площадь многоугольника можно узнать по формуле:

$S = \large \frac{n \cdot b^2}{4 \cdot \mathrm{tg}(\frac{360}{2 \cdot n})}$, где

$b$ — сторона многоугольника в основании;

$n$ — количество граней многоугольника в основании.

Подставим формулу площади в формулу для вычисления объёма пирамиды и получим:

$V =  \large \frac{n \cdot b^2 \cdot h} {12 \cdot \mathrm{tg}(\frac{180}{n})}$

comments powered by HyperComments