Высшая математика 1 курс

Линейная алгебра

Матрицы и действия над ними

Рассматриваются матрицы, которые содержат m строк и n столбцов.

Изучаются равные матрицы, квадратные, диагональные, единичные, треугольные и трапецевидные матрицы.

Над матрицами выполняются следующие виды действий:

• сложение матриц одинакового размера;
• умножение матрицы на вектор-столбец;
• умножение матрицы на число;
• умножение матриц, причем вводится понятие согласованности и транспортирования матриц;

Определитель квадратной матрицы

Рассматривается понятие определителя для матриц до 4-го порядка.

Основные свойства определителей:

1. Если А и В являются квадратными матрицами, то $|AB|=|BA|=|A| \times |B|$. Причем $AB \ne BA$.
2. $|A|=|A^T|$.
3. Определитель равен нулю, если он содержит нулевой ряд или $2$ одинаковых параллельных ряда.
4. Для диагональной и треугольной матриц определитель равен произведению чисел главной диагонали.
5. Общий множитель любого ряда определителя можно вынести за его знак.

Рассматривается понятие минора и теорема Лапласа (о разложении определителя).

Обратная матрица

Алгоритм нахождения обратной матрицы при условии, что матрица $A$ – невырожденная и ее определитель не равен нулю:

1. Каждый элемент матрицы заменяется его алгебраическим дополнением, получается союзная матрица.
2. Союзная матрица транспонируется.
3. Выполняется деление каждого элемента союзной матрицы на определитель матрицы.

Ранг матрицы

Ранг матрицы рассматривается как максимальное число линейно-зависимых строк матрицы и наибольшее из порядков отличных от нуля миноров данной матрицы.

Свойства:

1. Ранг матрицы не изменяется при транспонировании.
2. При вычеркивании нулевого ряда ранг не изменяется.
3. Ранг матрицы не изменяется при выполнении элементарных преобразований.
4. Ранг треугольной матрицы равен числу ненулевых элементов, расположенных на главной диагонали.

Метод Крамера решения невырожденных систем СЛАУ

Уравнение $AX=B$, где $|A| \ne 0$ решается так:

$a_k=\frac{|A_k |}{|A|}$ , где $A_k$ можно получить из $A$ заменой какого столбца на столбец свободного члена $B$.

Метод Гаусса

Вводится понятие расширенной матрицы, совместной и определенной системы уравнений, равносильных систем уравнений, однородной системы линейных уравнений.

Правило решения системы уравнений:

Найти ранг основной ($rA$) и расширенной ($r \bar{A}$):

1. Если $rA \ne r \bar{A}$, то система несовместна;
2. Если $rA=r \bar{A}=r$, то система совместна и находят базисный минор порядка $r$:
   • берутся $r$ уравнений, из коэффициентов которых составляется базисный минор, остальные отбрасываются. Неизвестные, коэффициенты которых составляют минор, называются главными. Их записывают слева, а остальные $(n-r)$ – справа;
   • выражают главные неизвестные через свободные и получают общее решение системы;
   • свободным неизвестным дают произвольное значение и получают частные решения.

Элементы векторной алгебры

Векторы

Изучается понятие вектора, длина и направление вектора, противоположный вектор, нулевой вектор, коллинеарные и компланарные векторы.

Операции над векторами

Рассматриваются операции над векторами:

• умножение вектора на число;
• сумма векторов;
• скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости

Несколько видов уравнений описывают прямую на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой через точку и направление, уравнение через 2 точки, уравнение в отрезках, уравнение через данную точку перпендикулярно вектору, нормальное уравнение прямой.

Традиционно рассматривается формула для нахождения угла между прямыми, условия перпендикулярности и параллельности прямых и расстояния от точки до прямой.

Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве задается с помощью различных видов уравнения: уравнение через точку перпендикулярно к вектору, уравнение через 3 точки, нормальное уравнение плоскости, уравнение в отрезках.

Рассматривается угол между плоскостями и расстояние от точки до плоскости.

Прямая в пространстве

Канонические уравнения прямой или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, уравнения в параметрическом виде, общее и векторное уравнение прямой, уравнение прямой через 2 точки в пространстве. Формула угла между прямыми.

Взаимное расположение плоскостей, прямых и прямой и плоскости

Для каждого из вариантов расположения предлагается формула для нахождения угла между плоскостями, прямыми и прямой и плоскостью, а также условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

Отдельно изучается пересечение прямой с плоскостью и условие принадлежности прямой плоскости.

Линии второго порядка

Эллипс

Кроме основного канонического уравнения эллипса изучаются понятия эксцентриситета и директрис.

Гипербола

Изучается каноническое уравнение гиперболы, уравнения асимптот, понятие эксцентриситета, директрисы и фокальных радиусов.

Парабола

Рассматривается понятие полуфокального диаметра параболы и каноническое уравнение параболы.