Допустим, известна траектория движения некоторого тела, причём эта траектория является функцией времени. Тогда среднюю скорость движения тела можно узнать по формуле $v_{ср} = \frac{s(t)}{t}$.
Физический (или иначе его называют механическим) смысл производной состоит в том, что производная представляет собой мгновенную скорость движения некоторого тела по траектории $s(t)$ в момент времени $t$. То есть, в данном случае производная определяется от пути по времени.
$v= s’(t)$.
Если же найти производную от скорости, то можно будет также найти такую величину, как ускорение, которое является мгновенным изменением скорости в некоторый момент времени.
Разберём примеры решений с использованием физического смысла производной.
Движение шарика можно описать по закону $S(t) = 3t^5 - 2t^4 + t^3 + 7$. Какова скорость этого шарика?
Решение:
Для решения задачи найдём производную от уравнения, описывающего путь:
$v(t)=S’(t) = (t^5 - 2t^4 - t^3 + 7 )’= 5 t^4 - 8t^3 - 3t^2$.
Ответ: скорость движения шарика описывается уравнением $v(t) = 5 t^4 - 8t^3 - 3t^2$.
Опишите, как выглядит закон изменения скорости из предыдущего примера.
Решение:
Мгновенное изменение скорости — это ускорение, оно является второй производной от уравнения пути. Соответственно, для того чтобы определить, чему оно равно, найдём производную от уже известного уравнения скорости:
$a(t)= v’(t) = (5 t^4 - 8t^3 - 3t^2)’ = 20 t^3 + 24 t^2 - 6t$.
Ускорение для шарика будет подчиняться закону $a(t) = 60 t^3 - 24 t^2 - 6t$.
Найдите, чему будет равно значение скорости для шарика в момент времени $t= 5 $ c.
Решение:
Для того чтобы узнать, чему будет равна скорость при $t=5$ с, подставим это число в полученную производную:
$v(5) = 15 t^4 - 8t^3 - 3t^2=5 \cdot 5^4 - 8 \cdot 5^3 – 3 \cdot 5^2 = 3125 – 1000 – 75= 2050$ м/с.
Тело переместилось на 242 метра в некоторый момент времени, заданный в секундах, а его путь описывается уравнением $S(t) = 3t^2 – 1$. Узнайте, какова скорость данного тела на момент заданного пройденного расстояния.
Решение:
Для начала нужно найти время, за которое тело переместилось на заданное расстояние. Подставим для этого число $242$ в уравнение:
$3t^2 – 1 = 242$;
$3t^2 = 243$;
$t^2 = 81$;
$t = 9$.
Теперь в общем виде узнаем, как изменяется скорость, для этого найдём производную от пути по времени:
$v(t)=S’(t) = (3t^2 – 1)’ = 6 t$.
Подставим найденное время в уравнение для скорости:
$v(9) = 6 \cdot 9 = 54$ м/с.
Ответ: 54 м/с.
