Уравнение плоскости через 3 точки

Для начала стоит напомнить, как выглядит общее уравнение плоскости:

$Ax \cdot + By + Cz + D = 0\left(1\right)$,

при этом: $\{A; B; C\}$ — координаты нормального вектора данной плоскости, а $D$ — свободный член.

В общем уравнении коэффициенты $A, B, C$ не могут быть одновременно равны нулю, если же один из коэффициентов нулевой — уравнение называется неполным. При $D=0$ плоскость проходит через центр осей координат.

Также в дальнейшем нам пригодится уравнение плоскости, заданной точкой, лежащей в данной плоскости и нормальным вектором:

$A(x-x_0)+B(y-y_0) + C(z-z_0)=0\left(2\right)$,

здесь $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты точки плоскости.

Теперь непосредственно к делу.

Уравнение плоскости через три точки можно выразить несколькими способами: с помощью смешанного произведения векторов и выразив сначала нормальный вектор плоскости и используя одну точку.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, через смешанное произведение векторов

Рассмотрим три точки $M_1, M_2, M_3$, не находящиеся на одной прямой. Соответственно аксиоме стереометрии о том, что три точки задают плоскость, и притом только одну, все эти точки лежат в одной плоскости $α$.

Рисунок 1. Плоскость через 3 точки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим точку $M$, лежащую в плоскости $α$. Если описать плоскость $α$ как множество точек $M$, вектора $\vec{M_1M_2}$, $\vec{M_1M_3}$ и $\vec{M_1M}$ должны быть компланарны между собой. А как известно, вектора компланарны между собой если их смешанное произведение равно нулю.

Соответственно, для того чтобы вычислить это смешанное произведение, необходимо вычислить определитель третьего порядка, каждая строка которого является координатами вышеперечисленных векторов.

Пусть координаты точек $M, M_1, M_2, M_3$ — $(x; y; z), (x_1;y_1; z_1), (x_2;y_2; z_2), (x_3;y_3;z_3)$ соответственно. Тогда координаты каждого из вышеперечисленных векторов составят:

$\vec{M_1M_2}=\{x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1\}$;

$\vec{M_1M_3}= \{x_3-x_1; y_3-y_1; z_3-z_1\}$;

$\vec{M_1M} = \{x-x_1; y-y_1; z-z_1\}$.

Составим определитель, описывающий смешанное произведение векторов:

$\begin{array}{|ccc|} x-x_1 && y-y_1 && z-z_1 \\ x_2-x_1 && y_2-y_1 && z_2-z_1 \\ x_3-x_1 && y_3-y_1 &&z_3-z_1 \\ \end{array}=0$ — уравнение плоскости через 3 точки.

При вычислении этого определителя получается общее уравнение плоскости, проходящей через три точки. Это можно увидеть, раскрыв определитель по первой строке:

$\begin{array}{|cc|} y_2-y_1 && z_2-z_1 \\ y_3-y_1 &&z_3-z_1 \\ \end{array} \cdot ( x-x_1) + \begin{array}{|cc|} x_2-x_1 && z_2-z_1 \\ x_3-x_1 &&z_3-z_1 \\ \end{array} \cdot (y-y_1) + \begin{array}{|cc|} x_2-x_1 && y_2-y_1 \\ x_3-x_1 && y_3-y_1 \\ \end{array} \cdot (z-z_1) = 0\left(3\right)$.

Коэффициенты из уравнения $(3)$ также совпадают с координатами векторного произведения $\vec{M_1M_2}×\vec{M_1M_3}$ и, так как два этих вектора неколлинеарны и параллельны рассматриваемой плоскости $α$, данное векторное произведение представляет собой нормальный вектор к плоскости, для которой составляется уравнение.

Уравнение плоскости, заданной 3 точками, через нормальный вектор и точку

Другим альтернативным методом задания плоскости является использование нормального вектора плоскости и точки, принадлежащей данной плоскости.

Для того чтобы воспользоваться данным методом, найдём векторное произведение векторов $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$:

$[\vec{M_1M_2} × \vec{M_1M_3}]= \begin{array}{|ccc|} \vec{i} &&\vec{j} &&\vec{k} \\ x_2-x_1 &&y_2-y_1 &&z_2-z_1 \\ x_3-x_1 &&y_3-y_1 &&z_3-z_1 \\ \end{array}=0$.

Данное произведение является нормальным вектором плоскости, для которой составляется уравнение. Полученные координаты нормального вектора можно использовать непосредственно для составления уравнения плоскости.

Зная точку, принадлежащую этой плоскости, можно подставить координаты нормального вектора и координаты точки в уравнение $(2)$ и получить уравнение плоскости:

$n_x(x-x_3)+n_y(y-y_3)+n_z(z-z_3)=0$.

В этом уравнении $n_x; n_y; n_z$ — координаты нормального вектора, определённого из векторного произведения векторов $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$, а $(x_3; y_3; z_3)$ — некая точка, принадлежащая данной плоскости.

К данной задаче можно также свести задачу с нахождением уравнения плоскости по уравнениям лежащих в ней параллельных и пересекающихся прямых.