Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Угол между плоскостями: определение

Рассмотрим пару плоскостей π1 и π2, заданных в общей форме с помощью равенств A1x+B1y+C1z+D=0 и A2x+B2y+C2z+D=0 соответственно.

Эти плоскости образуют 4 угла, каждая пара из которых равны как накрест лежащие. При исследовании взаимного расположения в пространстве двух плоскостей в качестве угла между ними рассматривают острый угол между нормальными векторами к каждой из плоскостей.

Определение 1

То есть, углом между плоскостями называется острый угол φ между их нормальными векторами.

Угол между двумя плоскостями. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Угол между двумя плоскостями. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Нормальные вектора данных плоскостей при этом определяются координатами: n1={A1;B1;C1} и n2={A1;B1;C1}.

Угол между векторами-нормалями можно определить через скалярное произведение, так как скалярное произведение как раз рассматривает отношение абсолютных длин векторов и угол между ними.

Соответственно, из определения скалярного произведения получаем, что для косинуса угла между плоскостями формула выглядит так:

cosφ=A1A2+B1B2+C1C2A21+B21+C21A22+B22+C22.

Замечание 1

Воспользовавшись этой формулой, можно сначала вычислить косинус от искомого угла, а затем с помощью арккосинуса найти сам угол.

В случае перпендикулярных плоскостей, угол между двумя плоскостями равен 90°, а их нормальные вектора ортогональны, а это значит, что их скалярное произведение равно нулю. Следовательно, условием перпендикулярности плоскостей является выполнение равенства:

«Угол между плоскостями: определение » 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0.

Если же две плоскости параллельны, то их нормальные вектора коллинеарны между собой, следовательно, соблюдается условие:

\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}.

В случае если две плоскости параллельны, но не совпадают между собой, будет выполняться следующее условие:

\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}≠\frac{D_1}{D_2}.

Когда плоскости совпадают между собой, равенство отношений соблюдается и для свободных членов D_1 и D_2.

Пример 1

Определите угол между двумя плоскостями α и β, описанными уравнениями: 2x-y+z+1=0 и x-z+3=0 соответственно.

Решение:

Нормальный вектор плоскости α есть вектор \vec{n_1}=\{2;-1;1\}, а нормальный вектор плоскости равен β \vec{n_2}=\{1;0;-1\}.

Подставим их в формулу для вычисления косинуса угла, приведённую выше в данной статье:

\cos φ= \frac{2 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1)}{\sqrt{2^2 + (-1)^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}.

Вычислим арккосинус от \frac{1}{2\sqrt{3}}:

\arccos{\frac{1}{2\sqrt{3}}}≈73,22°.

Дата последнего обновления статьи: 22.03.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Угол между плоскостями: определение "? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant