Рассмотрим пару плоскостей $π_1$ и $π_2$, заданных в общей форме с помощью равенств $A_1\cdot x+B_1\cdot y + C_1\cdot z + D = 0$ и $A_2\cdot x+B_2\cdot y + C_2\cdot z + D = 0$ соответственно.
Эти плоскости образуют 4 угла, каждая пара из которых равны как накрест лежащие. При исследовании взаимного расположения в пространстве двух плоскостей в качестве угла между ними рассматривают острый угол между нормальными векторами к каждой из плоскостей.
То есть, углом между плоскостями называется острый угол $φ$ между их нормальными векторами.
Рисунок 1. Угол между двумя плоскостями. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Нормальные вектора данных плоскостей при этом определяются координатами: $\vec{n_1}=\{A_1;B_1;C_1\}$ и $\vec{n_2}=\{A_1;B_1;C_1\}$.
Угол между векторами-нормалями можно определить через скалярное произведение, так как скалярное произведение как раз рассматривает отношение абсолютных длин векторов и угол между ними.
Соответственно, из определения скалярного произведения получаем, что для косинуса угла между плоскостями формула выглядит так:
$\cos φ= \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$.
Воспользовавшись этой формулой, можно сначала вычислить косинус от искомого угла, а затем с помощью арккосинуса найти сам угол.
В случае перпендикулярных плоскостей, угол между двумя плоскостями равен $90°$, а их нормальные вектора ортогональны, а это значит, что их скалярное произведение равно нулю. Следовательно, условием перпендикулярности плоскостей является выполнение равенства:
$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$.
Если же две плоскости параллельны, то их нормальные вектора коллинеарны между собой, следовательно, соблюдается условие:
$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$.
В случае если две плоскости параллельны, но не совпадают между собой, будет выполняться следующее условие:
$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}≠\frac{D_1}{D_2}$.
Когда плоскости совпадают между собой, равенство отношений соблюдается и для свободных членов $D_1$ и $D_2$.
Определите угол между двумя плоскостями $α$ и $β$, описанными уравнениями: $2x-y+z+1=0$ и $x-z+3=0$ соответственно.
Решение:
Нормальный вектор плоскости $α$ есть вектор $\vec{n_1}=\{2;-1;1\}$, а нормальный вектор плоскости равен $β$ $\vec{n_2}=\{1;0;-1\}$.
Подставим их в формулу для вычисления косинуса угла, приведённую выше в данной статье:
$\cos φ= \frac{2 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1)}{\sqrt{2^2 + (-1)^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$.
Вычислим арккосинус от $\frac{1}{2\sqrt{3}}$:
$\arccos{\frac{1}{2\sqrt{3}}}≈73,22°$.
