Рассмотрим пару плоскостей π1 и π2, заданных в общей форме с помощью равенств A1⋅x+B1⋅y+C1⋅z+D=0 и A2⋅x+B2⋅y+C2⋅z+D=0 соответственно.
Эти плоскости образуют 4 угла, каждая пара из которых равны как накрест лежащие. При исследовании взаимного расположения в пространстве двух плоскостей в качестве угла между ними рассматривают острый угол между нормальными векторами к каждой из плоскостей.
То есть, углом между плоскостями называется острый угол φ между их нормальными векторами.
Рисунок 1. Угол между двумя плоскостями. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Нормальные вектора данных плоскостей при этом определяются координатами: →n1={A1;B1;C1} и →n2={A1;B1;C1}.
Угол между векторами-нормалями можно определить через скалярное произведение, так как скалярное произведение как раз рассматривает отношение абсолютных длин векторов и угол между ними.
Соответственно, из определения скалярного произведения получаем, что для косинуса угла между плоскостями формула выглядит так:
cosφ=A1A2+B1B2+C1C2√A21+B21+C21⋅√A22+B22+C22.
Воспользовавшись этой формулой, можно сначала вычислить косинус от искомого угла, а затем с помощью арккосинуса найти сам угол.
В случае перпендикулярных плоскостей, угол между двумя плоскостями равен 90°, а их нормальные вектора ортогональны, а это значит, что их скалярное произведение равно нулю. Следовательно, условием перпендикулярности плоскостей является выполнение равенства:
A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0.
Если же две плоскости параллельны, то их нормальные вектора коллинеарны между собой, следовательно, соблюдается условие:
\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}.
В случае если две плоскости параллельны, но не совпадают между собой, будет выполняться следующее условие:
\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}≠\frac{D_1}{D_2}.
Когда плоскости совпадают между собой, равенство отношений соблюдается и для свободных членов D_1 и D_2.
Определите угол между двумя плоскостями α и β, описанными уравнениями: 2x-y+z+1=0 и x-z+3=0 соответственно.
Решение:
Нормальный вектор плоскости α есть вектор \vec{n_1}=\{2;-1;1\}, а нормальный вектор плоскости равен β \vec{n_2}=\{1;0;-1\}.
Подставим их в формулу для вычисления косинуса угла, приведённую выше в данной статье:
\cos φ= \frac{2 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1)}{\sqrt{2^2 + (-1)^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}.
Вычислим арккосинус от \frac{1}{2\sqrt{3}}:
\arccos{\frac{1}{2\sqrt{3}}}≈73,22°.