Свойства степеней

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Степень можно разделить на три вида. Степень с целым действительным показателем, степень с рациональным показателем, степень с иррациональным показателем.

Степень с целым действительным показателем

Определение 1

Степень действительного числа $a$ c целым показателем $n$ определяется формулой:

\[a^n=\left\{ \begin{array}{c}{a\cdot a\cdot \dots \cdot a\left(n\ раз\right),\ при\ n>0,} \\ {1,\ при\ n=0,} \\ {\frac{1}{a\cdot a\cdot \dots \cdot a\left(n\ раз\right)},\ при\ n

Свойства:

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
${(ab)}^n=a^n\cdot b^n$
$({a^n)}^m=a^{nm}$
$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$
$a^n >0,\ при\ a >0$
$a^m1,\ m
$a^m >a^n,\ при\ 0
$a^n0$
$a^n >b^n,\ при\ 0\le a\le b,\ n

Степень с рациональным показателем

Пусть $a$ -- действительное число, а $r=\frac{m}{n}$ ( $m\in {\mathbb Z}{\rm ,}{\rm \ }n\in {\mathbb N}{\rm )}$ -- несократимая дробь.\textit{}

Определение 2

Степень действительного числа $a$ c рациональным показателем $n$ определяется формулой:

$a^r=\sqrt[n]{a^m}$

Здесь стоит отметить, что если $n$ -- четно, то $a >0.$

Свойства:

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
${(ab)}^n=a^n\cdot b^n$
$({a^n)}^m=a^{nm}$
$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

Замечание 1

Отметим, что в данном случае можно также, при необходимости, пользоваться свойствами корней:

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
$\sqrt[{nk}]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$
$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[{nk}]{a}$

Степень с иррациональным показателем

Определение 3

Степень положительного числа $a$ c иррациональным показателем $\alpha$ называется выражение вида $a^{\alpha }$ , значение которого определяется следующим образом:

Если $a=1,$ то $a^{\alpha }=1$ ;
Если $a >1,$ то под $a^{\alpha }$ понимают такое число, которое удовлетворяет неравенству $a^{r_1}\alpha$ .
Если $0\alpha$ .

Определение 4

Степень положительного числа $a$ c иррациональным показателем $\alpha$ называется выражение вида $a^{\alpha }$ , значение которого равно пределу последовательности $a^{{\alpha }_0},\ a^{{\alpha }_1},\ a^{{\alpha }_2},\dots$ , где ${\alpha }_0,\ {\alpha }_1,{\alpha }_2$ последовательные десятичные приближения иррационального числа $\alpha$ .

Замечание 2

Отметим, что если $\alpha >0$ , то $0^{\alpha }=0$ . Если же $\alpha

Свойства:

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
${(ab)}^n=a^n\cdot b^n$
$({a^n)}^m=a^{nm}$
$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

Примеры задач

Пример 1

Найти значения выражений:

а) $2^2\cdot 2^3-\frac{3^5}{3^3}$

б) ${(2^2)}^2+\frac{8^4}{4^2}$

в) $8^{\frac{2}{3}}+0^{\pi }$

Решение:

а) Используя свойства $1$ и $2$ степени с целым показателем, получим:

$2^2\cdot 2^3-\frac{3^5}{3^3}=2^5-3^2=32-9=23$

б) Используя свойства $2$ , $4$ и $5$ , получим:

в) Используя определение степени с рациональным показателем, получим:

$8^{\frac{2}{3}}+0^{\pi }=\sqrt[3]{8^2}+0=2^2=4$

Пример 2

Упростить выражение:

$\frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1$

Используя определение свойство 1 степени с рациональным показателем, получим:

$\frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1=\frac{x-1}{x^{\frac{1}{2}}\left(x^{\frac{1}{4}}+1\right)}\cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}\left(x^{\frac{1}{4}}+1\right)}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1=$

$=\frac{x-1}{x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}+1=\frac{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)}{x^{\frac{1}{2}}+1}+1=x^{\frac{1}{2}}-1+1=\sqrt{x}$

Дата последнего обновления статьи: 03.02.2025