Для начала напомним следующее определение:
Доверительный интервал -- интервал (Q∗−δ,Q∗+δ), который покрывает неизвестную величину Q c надежностью γ.
Пусть нам дано исправленное среднее квадратическое отклонение S. Оценим неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение, то есть найдем доверительный интервал, который покрывает величину σ.
Для этого нам необходимо, чтобы выполнялось равенство
неравенствоОтметим, что так как среднее квадратическое отклонение больше нуля, то при q>1 доверительный интервал будет иметь вид:
Величина q имеет табличные значения:
Рисунок 1. Таблица значений величины q.
Доверительный интеграл для оценки дисперсии
С понятием среднего квадратического отклонения тесно связано понятие дисперсии.
Пусть нам дано исправленная дисперсия. Оценим неизвестное генеральную дисперсию, то есть найдем доверительный интервал, который покрывает величину D.
Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню от дисперсии, то исправленная дисперсия равна квадрату исправленного среднего квадратического отклонения S2.
Таким образом, получим, что доверительный интервал имеет вид:
Отметим, что так как среднее квадратическое отклонение больше нуля, то при q>1 доверительный интервал будет иметь вид:
Пример задач на нахождение доверительного интервала
Пусть выборка имеет исправленное среднее квадратическое отклонение S=0,4. Пусть объем выборки n=60, а надежности равна γ=0,95. Найти доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения данного распределения.
Решение:
Для начала найдем величину q из таблицы 1. Так как, по условию задачи, n=60 и γ=0,95, то получим, что q=0,188.
Видим, что $q (S(1−q),S(1+q))
Ответ: (0,3248;0,4752).
Пусть выборка имеет исправленное среднее квадратическое отклонение S=0,9. Пусть объем выборки n=10, а надежности равна γ=0,999. Найти доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения данного распределения.
Решение:
Для начала найдем величину q из таблицы 1. Так как, по условию задачи, n=10 и γ=0,999, то получим, что q=1,8.
Видим, что $q (0;S(1+q))
Ответ: (0;2,52).
Пусть выборка имеет исправленное среднее квадратическое отклонение S=0,3. Пусть объем выборки n=30, а надежности равна γ=0,99. Найти доверительный интервал для дисперсии данного распределения.
Решение:
Для начала найдем величину q из таблицы 1. Так как, по условию задачи, n=30 и γ=0,99, то получим, что q=0,43.
Видим, что $q (S2(1−q),S2(1+q))
Ответ: (0,0513;0,1287).
