Соотношения между сторонами и углами треугольника

Введем сначала определение треугольника.

Сумма углов треугольника

Рассмотрим теорему о сумме углов треугольника.

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Докажем, что сумма его углов равна ${180}^0$. Построим прямую $a||AC$ (рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Так как $a||AC$, то $\angle A=\angle ACD,\ \angle B=\angle BCE$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущих $AC$ и $BC$, соответственно.

Так как $\angle DCE$ -- развернутый, то он равен ${180}^0$.

Получаем

То есть

Теорема доказана.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Перед тем, как ввести следующую теорему, введем понятие внешнего угла треугольника.

Введем теорему о внешнем угле треугольника:

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Рассмотрим внешний угол треугольника $\angle BCD$ (рис. 3).

Рисунок 3. Внешний угол треугольника

По теореме 1 $\angle A+\angle C+\angle B={180}^0$, то есть $\angle C={180}^0-(\angle A+\angle B)$.

С другой стороны

Теорема доказана.

Доказательство.

1. Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$, такой, что сторона $AB>AC$. Докажем, что угол $\angle C>\angle B$.

   Построим на стороне $AB$ отрезок $AD=AC$ (рис. 4).

   
   
   Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 3

   Очевидно, что отрезок $CD$ лежит внутри треугольника $ABC$. Угол $ADC$ - внешний угол треугольника $BDC$, следовательно, по теореме 2, $\angle ADC >\angle B$. Так как $AD=AC$, то треугольник $DCA$ - равнобедренный. Следовательно, $\angle ADC=\angle DCA$, значит $\angle DCA>\angle B$. Получаем

   $$\angle C >\angle DCA >\angle B$$

2. Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$, такой, что $\angle C>\angle B$. Докажем, что $AB>AC$.

   Предположим противное, что $\ AB\le AC$. Рассмотрим два случая:

   • $AB

   Тогда по первому пункту этой теоремы $\angle B >\angle C$. Противоречие.

   • $AB=AC$.

   Тогда треугольник $ABC$ равнобедренный, и, следовательно, $\angle B=\angle C$. Противоречие.

   Значит $AB >AC$.

Теорема доказана.

Неравенство треугольника

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Докажем, что$AB

Рисунок 5. Иллюстрация теоремы 4

Так как $CD=BC$, то треугольник $BCD$ равнобедренный, следовательно, $\angle CBD=\angle D$. Тогда $\angle ABD >\angle D$. Значит $AD >AB$. Так как

То

Пример задачи на соотношение между сторонами и углами треугольника