Описать случайную величину можно с используя закона распределения.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны все возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений:
Рисунок 1.
где р1+р2+...+рn=1.
Даная таблица является рядом распределения дискретной случайной величины.
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+р2+...+рn+... сходится и его сумма будет равна 1.
Закон распределения дискретной случайной величины Х можно представить графически, для чего в системе координат (прямоугольной) строят ломаную линию, которая последовательно соединяет точки с координатами (xi;pi),i=1,2,...n. Линию, которую получили называют многоугольником распределения.
Рисунок 2.
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также представлен аналитически (с помощью формулы):
P(X=xi)=φ(xi),i=1,2,3...n.
Действия над дискретными вероятностями
При решении многих задач теории вероятности необходимо проводить операции умножения дискретной случайной величины на константу, сложения двух случайных величин, их умножения, поднесения к степени. В этих случаях необходимо придерживаться таких правил над случайными дискретными величинами:
Умножением дискретной случайной величины X на константу K называется дискретная случайная величина Y=KX, которая обусловлена равенствами: yi=Kxi, p(yi)=p(xi)=pi, i=¯1, n.
Две случайные величины x и y называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приобрела вторая величина.
Суммой двух независимых дискретных случайных величин X и Y называют случайную величину Z=X+Y, обусловлена равенствами: zij=xi+yj, P(zij)=P(xi)P(yj)=pip′j, i=¯1,n, j=¯1,m, P(xi)=pi, P(yj)=p′j.
Умножением двух независимых дискретных случайных величин X и Y называют случайную величину Z=XY, обусловлена равенствами: zij=xiyj, P(zij)=P(xi)P(yj)=pip′j, i=¯1,n, j=¯1,m, P(xi)=pi, P(yj)=p′j.
Примем во внимание, что некоторые произведения xi yj могут быть равными между собой. В таком случае вероятность сложения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.
Например, если x2 y3=x5 y7, то вероятность x2y3 (или тоже самое x5y7) будет равна p2⋅p′3+p5⋅p′7.
Сказанное выше касается также и суммы. Если x1+ y2=x4+ y6, то вероятность x1+ y2 (или тоже самое x4+ y6) будет равняться p1⋅p′2+p4⋅p′6.
Пусnm случайные величины X и Y заданы законами распределения:
Рисунок 3.
Где p1+p2+p3=1, p′1+p′2=1. Тогда закон распределения сумы X+Y будет иметь вид
Рисунок 4.
А закон распределения произведения XY будет иметь вид
Рисунок 5.
Фунция распределения
Полное описание случайной величины дает также функция распределения.
Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), которая определяет для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:
F(x)=Р(Х
Геометрически функция распределения разъясняется как вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, которое на числовой прямой изображается точкой, лежащей с левой стороны от точки х.
Свойства функции распределения
-
0≤F(x)≤1;
-
F(x)− функция неубывающая на промежутке (−∞; +∞);
-
F(x)− функция непрерывна слева в точках х=xi(i=1,2,…n) и непрерывна во всех остальных точках;
$F\left(-\infty \right)=P \left(X
Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан таблицей:
Рисунок 6.
то функция распределения F(x) определяется за формулой:
Рисунок 7.
Её график выглядит так:
Рисунок 8.
Закон распределения дискретной случайной величины ξ задано таблицей:
Рисунок 9.
Построить функцию распределения F(x).
Если x≤−3, то F(x)=0;
если $-3
если $-1
если $1
если $3
если x>5, то F(x)=0,8+0,2=1.
Компактно F(x) можно записать в такой форме:
Рисунок 10.
