Условным законом распределения одной из составляющих двумерной случайной величины (X,Y) называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая принимает определенное значение или попадает в определенный интеграл.
Введем теперь по отдельности определения условного закона распределения для составляющей X и для составляющей Y.
Условные законы распределения составляющих дискретной двумерной случайной величины
Пусть (X,Y) - дискретная двумерная случайная величина.
Условным распределением составляющей X при Y=y называется совокупность условных вероятностей p(x1,y), p(x2,y),..,p(xn,y) при условии, что событие Y=y уже произошло.
Если известен закон распределения двумерной случайной величины (X,Y), то условная составляющая X представляется в виде
Условным распределением составляющей Y при X=x называется совокупность условных вероятностей p(x,y1), p(x,y2),..,p(x,ym) при условии, что событие X=x уже произошло.
Если известен закон распределения двумерной случайной величины (X,Y), то условная составляющая X представляется в виде
Условные законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины
Пусть (X,Y) - непрерывная двумерная случайная величина.
Напомним, что для непрерывной случайной величины существует понятие плотности распределения случайной величины.
Условной плотностью φ(x/y) распределения составляющей X при Y=y называется отношение плотности φ(x,y) двумерной случайной величины (X,Y) к плотности распределения φ(y) при условии, что составляющая Y приняла конкретное значение или попала в заданный интервал. То есть
φ(x/y)=φ(x,y)φ(y)Условной плотностью φ(y/x) распределения составляющей Y при X=x называется отношение плотности φ(x,y) двумерной случайной величины (X,Y) к плотности распределения φ(x) при условии, что составляющая X приняла конкретное значение или попала в заданный интервал. То есть
φ(y/x)=φ(x,y)φ(x)Приведем еще две формулы для вычисления условных плотностей распределения. Если известна плотность совместного распределения, то условные плотности по составляющей X и по составляющей Y можно найти по формулам:
Введем несколько свойств для функций условной плотности распределения.
Свойство 1: Функции условной плотности распределения неотрицательны на всей области определения, то есть:
Свойство 2: Выполняются следующие равенства:
Условное математическое ожидание
Введем формулы для вычисления условных математических ожиданий для различных случаев.
- Условное математическое ожидание дискретной случайной величины Y при X=x:
- Условное математическое ожидание дискретной случайной величины X при Y=y:
- Условное математическое ожидание непрерывной случайной величины Y при X=x:
- Условное математическое ожидание непрерывной случайной величины X при Y=y:
Условное математическое ожидание M(Y/X) называется функцией регрессии X на Y.
Условное математическое ожидание M(X/Y) называется функцией регрессии Y на X.
Пример задачи на условное распределение
Распределение случайной величины задано таблицей.
Рисунок 1.
Найти для этой двумерной случайной величины условное распределение по составляющей X, если Y=10.
Решение.
Для нахождения условного распределения по составляющей X, будем использовать следующую формулу:
p(xi/y)=p(xi,y)p(y)Для начала необходимо найти ряд распределения случайной величины Y.
С помощью простейших вычислений, получим:
Рисунок 2.
Для нахождения условного распределения по составляющей X, будем использовать следующую формулу:
p(xi/y)=p(xi,y)p(y)- Y=10
Получаем следующий ряд условного распределения по составляющей X:
Рисунок 3.
