Система двух случайных величин

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Случайная величина называется двумерной, если она определяется двумя числами.

Определение 2

Двумерная случайная величина называется дискретной, если все её составляющие являются дискретными случайными величинами.

Определение 3

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если все её составляющие являются непрерывными случайными величинами.

Определение 4

Составляющие двумерной случайной величины, рассматриваемые вместе, называется системой двух случайных величин.

Такая система обозначается следующим образом: $(X,\ Y)$ .

Геометрически двумерную случайную величину можно трактовать как координаты точки евклидовой плоскости (рис. 1).

Рисунок 1. Геометрическое изображение двумерной случайной величины $(X,Y)$ .

В случае одномерной случайной величины простейший закон распределения записывается в виде ряда. В случае двумерной случайной величины аналогичный закон распределения записывается в виде таблицы.

Еще одними из основных понятий двумерной случайной величины является функция распределения и плотность распределения двумерной случайной величины.

Функция распределения двумерной случайной величины

Определение 5

Функцией распределения для двумерной случайной величины $(X,Y)$ называется функция $F\left(x,y\right)$ удовлетворяющая одновременно двум равенствам: $F\left(x\right)=P(X \[F\left(x,y\right)=P(X

Плотность распределения двумерной случайной величины.

Определение 6

Функция $\varphi (x,y)$ называется плотностью распределения двумерной случайной величины $(X,Y)$ , если, с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно $\triangle p=\sqrt{{\triangle x}^2+{\triangle y}^2}$ , выполняется равенство:

\[P(x

Приведем несколько свойств функции плотности распределения $f\left(x,y\right)$

$\varphi \left(x,y\right)\ge 0$ .
$\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x,y\right)dxdy}}=1$ .
$\varphi \left(x,y\right)={F^{''}}_{xy}(x,y)$ .
$P\left(\left(X,Y\right)\in D\right)=\iint\limits_{(D)}{\varphi \left(x,y\right)dxdy}$ .

Пример задачи на использование свойств функции плотности распределения двумерной случайной величины

Пример 1

Плотность двумерной случайной величины имеет вид

$\varphi \left(x,y\right)=\frac{\beta }{{\pi }^3\left(4+x^2\right)(4+y^2)}$

Найти:

Коэффициент $\beta$ .
Функцию распределения $F\left(x,y\right)$ .
Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник, ограниченный прямыми $x=0,\ x=2,\ y=0,y=4$ .

Решение:

Воспользуется свойством 2 функции плотности распределения:

$\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x,y\right)dxdy}}=1.$

Рассмотрим интеграл $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{\beta dxdy}{{\pi }^3\left(4+x^2\right)(4+y^2)}}}$ , получим:

$\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{\beta dxdy}{{\pi }^3\left(4+x^2\right)(4+y^2)}}}=\frac{\beta }{{\pi }^3}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dy}{4+y^2}}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dx}{4+x^2}}=$

$=\frac{\beta }{{\pi }^3}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dy}{4+y^2}}\cdot {\left.\left(\frac{1}{2}arctg\frac{x}{2}\right)\right|}^{+\infty }_{-\infty }=\frac{\beta }{2{\pi }^3}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dy}{4+y^2}}\cdot \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)=$

$=\frac{\beta }{2{\pi }^2}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dy}{4+y^2}}=\frac{\beta }{4{\pi }^2}\cdot {\left.\left(arctg\frac{y}{2}\right)\right|}^{+\infty }_{-\infty }=\frac{\beta }{4{\pi }^2}\cdot \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\beta }{4\pi }$

Значит

$\frac{\beta }{4\pi }=1,$

$\beta =4\pi .$

То есть функция плотности распределения имеет вид:

$\varphi \left(x,y\right)=\frac{4}{{\pi }^2\left(4+x^2\right)(4+y^2)}$

Напомним формулу, связывающую функцию распределения и плотность распределения для случая одномерной случайной величины:

$F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi \left(t\right)dt}$

Аналогично этой формуле существует формула связывающая функцию распределения и плотность распределения для случая двумерной случайной величины:

$F\left(x,y\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\int\limits^y_{-\infty }{\varphi \left(t,z\right)dtdz}}$

Получаем:

$F\left(x,y\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\int\limits^y_{-\infty }{\frac{4}{{\pi }^2\left(4+t^2\right)(4+z^2)}dtdz}}=\frac{4}{{\pi }^2}\int\limits^x_{-\infty }{\int\limits^y_{-\infty }{\frac{dtdz}{\left(4+t^2\right)(4+z^2)}}}=$

$=\frac{4}{{\pi }^2}\int\limits^x_{-\infty }{\frac{dt}{4+t^2}}\int\limits^y_{-\infty }{\frac{dz}{4+z^2}}=\frac{4}{{\pi }^2}\int\limits^x_{-\infty }{\frac{dt}{4+t^2}}\cdot {\left.\left(\frac{1}{2}arctg\frac{z}{2}\right)\right|}^y_{-\infty }=$

$=\frac{2}{{\pi }^2}\left(arctg\frac{y}{2}+\frac{\pi }{2}\right)\int\limits^x_{-\infty }{\frac{dt}{4+t^2}}=\frac{2}{{\pi }^2}\left(arctg\frac{y}{2}+\frac{\pi }{2}\right){\left.\left(\frac{1}{2}arctg\frac{t}{2}\right)\right|}^x_{-\infty }=$

$=\frac{2}{{\pi }^2}\left(arctg\frac{y}{2}+\frac{\pi }{2}\right)\left(arctg\frac{x}{2}+\frac{\pi }{2}\right)$

То есть

$F\left(x,y\right)=2\left(\frac{1}{\pi }arctg\frac{y}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{\pi }arctg\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)$