Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Система двух случайных величин

Определение 1

Случайная величина называется двумерной, если она определяется двумя числами.

Определение 2

Двумерная случайная величина называется дискретной, если все её составляющие являются дискретными случайными величинами.

Определение 3

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если все её составляющие являются непрерывными случайными величинами.

Определение 4

Составляющие двумерной случайной величины, рассматриваемые вместе, называется системой двух случайных величин.

Такая система обозначается следующим образом: (X, Y).

Геометрически двумерную случайную величину можно трактовать как координаты точки евклидовой плоскости (рис. 1).

Геометрическое изображение двумерной случайной величины $(X,Y)$.

Рисунок 1. Геометрическое изображение двумерной случайной величины (X,Y).

В случае одномерной случайной величины простейший закон распределения записывается в виде ряда. В случае двумерной случайной величины аналогичный закон распределения записывается в виде таблицы.

Еще одними из основных понятий двумерной случайной величины является функция распределения и плотность распределения двумерной случайной величины.

Функция распределения двумерной случайной величины

Определение 5

Функцией распределения для двумерной случайной величины (X,Y) называется функция F(x,y) удовлетворяющая одновременно двум равенствам: $F\left(x\right)=P(X \[F\left(x,y\right)=P(X

Плотность распределения двумерной случайной величины.

Определение 6

Функция φ(x,y) называется плотностью распределения двумерной случайной величины (X,Y), если, с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно p=x2+y2, выполняется равенство:

\[P(x

Приведем несколько свойств функции плотности распределения f(x,y)

  1. φ(x,y)0.

  2. ++φ(x,y)dxdy=1.

  3. φ(x,y)=Fxy(x,y).

  4. P((X,Y)D)=(D)φ(x,y)dxdy.

Пример задачи на использование свойств функции плотности распределения двумерной случайной величины

Пример 1

Плотность двумерной случайной величины имеет вид

φ(x,y)=βπ3(4+x2)(4+y2)

Найти:

  1. Коэффициент β.

  2. Функцию распределения F(x,y).

  3. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник, ограниченный прямыми x=0, x=2, y=0,y=4.

Решение:

  1. Воспользуется свойством 2 функции плотности распределения:
++φ(x,y)dxdy=1.

Рассмотрим интеграл ++βdxdyπ3(4+x2)(4+y2), получим:

++βdxdyπ3(4+x2)(4+y2)=βπ3+dy4+y2+dx4+x2=
=βπ3+dy4+y2(12arctgx2)|+=β2π3+dy4+y2(π2+π2)=
=β2π2+dy4+y2=β4π2(arctgy2)|+=β4π2(π2+π2)=β4π

Значит

β4π=1,
β=4π.

То есть функция плотности распределения имеет вид:

φ(x,y)=4π2(4+x2)(4+y2)
  1. Напомним формулу, связывающую функцию распределения и плотность распределения для случая одномерной случайной величины:
F(x)=xφ(t)dt

Аналогично этой формуле существует формула связывающая функцию распределения и плотность распределения для случая двумерной случайной величины:

F(x,y)=xyφ(t,z)dtdz

Получаем:

F(x,y)=xy4π2(4+t2)(4+z2)dtdz=4π2xydtdz(4+t2)(4+z2)=
=4π2xdt4+t2ydz4+z2=4π2xdt4+t2(12arctgz2)|y=
=2π2(arctgy2+π2)xdt4+t2=2π2(arctgy2+π2)(12arctgt2)|x=
=2π2(arctgy2+π2)(arctgx2+π2)

То есть

F(x,y)=2(1πarctgy2+12)(1πarctgx2+12)
  1. Воспользуемся свойством 4 функции плотности распределения двумерной случайной величины:
P((X,Y)D)=(D)φ(x,y)dxdy

Получаем:

\[P\left(0
Дата последнего обновления статьи: 24.02.2025
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Система двух случайных величин"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant