Случайная величина называется двумерной, если она определяется двумя числами.
Двумерная случайная величина называется дискретной, если все её составляющие являются дискретными случайными величинами.
Двумерная случайная величина называется непрерывной, если все её составляющие являются непрерывными случайными величинами.
Составляющие двумерной случайной величины, рассматриваемые вместе, называется системой двух случайных величин.
Такая система обозначается следующим образом: $(X,\ Y)$.
Геометрически двумерную случайную величину можно трактовать как координаты точки евклидовой плоскости (рис. 1).
Рисунок 1. Геометрическое изображение двумерной случайной величины $(X,Y)$.
В случае одномерной случайной величины простейший закон распределения записывается в виде ряда. В случае двумерной случайной величины аналогичный закон распределения записывается в виде таблицы.
Еще одними из основных понятий двумерной случайной величины является функция распределения и плотность распределения двумерной случайной величины.
Функция распределения двумерной случайной величины
Функцией распределения для двумерной случайной величины $(X,Y)$ называется функция $F\left(x,y\right)$ удовлетворяющая одновременно двум равенствам: $F\left(x\right)=P(X \[F\left(x,y\right)=P(X
Плотность распределения двумерной случайной величины.
Функция $\varphi (x,y)$ называется плотностью распределения двумерной случайной величины $(X,Y)$, если, с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно $\triangle p=\sqrt{{\triangle x}^2+{\triangle y}^2}$, выполняется равенство:
\[P(xПриведем несколько свойств функции плотности распределения $f\left(x,y\right)$
-
$\varphi \left(x,y\right)\ge 0$.
-
$\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x,y\right)dxdy}}=1$.
-
$\varphi \left(x,y\right)={F^{''}}_{xy}(x,y)$.
-
$P\left(\left(X,Y\right)\in D\right)=\iint\limits_{(D)}{\varphi \left(x,y\right)dxdy}$.
Пример задачи на использование свойств функции плотности распределения двумерной случайной величины
Плотность двумерной случайной величины имеет вид
\[\varphi \left(x,y\right)=\frac{\beta }{{\pi }^3\left(4+x^2\right)(4+y^2)}\]Найти:
-
Коэффициент $\beta $.
-
Функцию распределения $F\left(x,y\right)$.
-
Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник, ограниченный прямыми $x=0,\ x=2,\ y=0,y=4$.
Решение:
- Воспользуется свойством 2 функции плотности распределения:
Рассмотрим интеграл $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{\beta dxdy}{{\pi }^3\left(4+x^2\right)(4+y^2)}}}$, получим:
\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{\beta dxdy}{{\pi }^3\left(4+x^2\right)(4+y^2)}}}=\frac{\beta }{{\pi }^3}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dy}{4+y^2}}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dx}{4+x^2}}=\] \[=\frac{\beta }{{\pi }^3}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dy}{4+y^2}}\cdot {\left.\left(\frac{1}{2}arctg\frac{x}{2}\right)\right|}^{+\infty }_{-\infty }=\frac{\beta }{2{\pi }^3}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dy}{4+y^2}}\cdot \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)=\] \[=\frac{\beta }{2{\pi }^2}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dy}{4+y^2}}=\frac{\beta }{4{\pi }^2}\cdot {\left.\left(arctg\frac{y}{2}\right)\right|}^{+\infty }_{-\infty }=\frac{\beta }{4{\pi }^2}\cdot \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\beta }{4\pi }\]Значит
\[\frac{\beta }{4\pi }=1,\] \[\beta =4\pi .\]То есть функция плотности распределения имеет вид:
\[\varphi \left(x,y\right)=\frac{4}{{\pi }^2\left(4+x^2\right)(4+y^2)}\]- Напомним формулу, связывающую функцию распределения и плотность распределения для случая одномерной случайной величины:
Аналогично этой формуле существует формула связывающая функцию распределения и плотность распределения для случая двумерной случайной величины:
\[F\left(x,y\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\int\limits^y_{-\infty }{\varphi \left(t,z\right)dtdz}}\]Получаем:
\[F\left(x,y\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\int\limits^y_{-\infty }{\frac{4}{{\pi }^2\left(4+t^2\right)(4+z^2)}dtdz}}=\frac{4}{{\pi }^2}\int\limits^x_{-\infty }{\int\limits^y_{-\infty }{\frac{dtdz}{\left(4+t^2\right)(4+z^2)}}}=\] \[=\frac{4}{{\pi }^2}\int\limits^x_{-\infty }{\frac{dt}{4+t^2}}\int\limits^y_{-\infty }{\frac{dz}{4+z^2}}=\frac{4}{{\pi }^2}\int\limits^x_{-\infty }{\frac{dt}{4+t^2}}\cdot {\left.\left(\frac{1}{2}arctg\frac{z}{2}\right)\right|}^y_{-\infty }=\] \[=\frac{2}{{\pi }^2}\left(arctg\frac{y}{2}+\frac{\pi }{2}\right)\int\limits^x_{-\infty }{\frac{dt}{4+t^2}}=\frac{2}{{\pi }^2}\left(arctg\frac{y}{2}+\frac{\pi }{2}\right){\left.\left(\frac{1}{2}arctg\frac{t}{2}\right)\right|}^x_{-\infty }=\] \[=\frac{2}{{\pi }^2}\left(arctg\frac{y}{2}+\frac{\pi }{2}\right)\left(arctg\frac{x}{2}+\frac{\pi }{2}\right)\]То есть
\[F\left(x,y\right)=2\left(\frac{1}{\pi }arctg\frac{y}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{\pi }arctg\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\]- Воспользуемся свойством 4 функции плотности распределения двумерной случайной величины:
Получаем:
\[P\left(0
