Интегрирование и дифференцирование рядов

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Ряд, члены которого являются функциями одной илинескольких независимых переменных, определёнными на некотором множестве, называется функциональным рядом.

Рассмотрим функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} (x)=u_{1} (x)+u_{2} (x)+u_{3} (x)+...$ , члены которого являются функциями одной независимой переменной х. Сумма первых n членов ряда $S_{n} (x)=u_{1} (x)+u_{2} (x)+...+u_{n} (x)$ является частичной суммой данного функционального ряда. Общий член $u_{n} (x)$ есть функция от х, определённая в некоторой области. Рассмотрим функциональный ряд в точке $x=x_{0}$ . Если соответствующий числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} (x_{0} )$ сходится, т.е. существует предел частичных сумм этого ряда $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} (x_{0} )=S(x_{0} )$ (где $S(x_{0} )

Определение 2

Областью сходимости функционального ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} (x)$ называется множество всех таких значений х, при которых функциональный ряд сходится. Область сходимости, состоящая из всех точек сходимости, обозначается $D(x)$ . Отметим, что $D(x)\subset$ R.

Функциональный ряд сходится в области $D(x)$ , если для любого $x\in D(x)$ он сходится как числовой ряд, при этом его сумма будет некоторой функцией $S(x)$ . Это так называемая предельная функция последовательности $\left\{S{}_{n} (x)\right\}$ : $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} (x)=S(x)$ .

Как находить область сходимости функционального ряда $D(x)$ ? Можно использовать признак, аналогичный признаку Даламбера. Для ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} (x)$ составляем $u_{n+1} (x)$ и рассматриваем предел при фиксированном х: $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left|\frac{u_{n+1} (x)}{u_{n} (x)} \right|=\left|l(x)\right|$ . Тогда $D(x)$ является решением неравенства $\left|l(x)\right|

«Интегрирование и дифференцирование рядов» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 1

Найти область сходимости ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{x^{n} }{n} \,$ .

Решение. Обозначим $u_{n} (x)=\frac{x^{n} }{n}$ , $u_{n+1} (x)=\frac{x^{n+1} }{n+1}$ . Составим и вычислим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left|\frac{u_{n+1} (x)}{u_{n} (x)} \right|=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left|\frac{x^{n+1} \cdot n}{x^{n} \cdot (n+1)} \right|=\left|x\right|$ , тогда область сходимости ряда определяется неравенством $\left|x\right|

если $x=1$ , $u_{n} (1)=\frac{1}{n}$ , то получается расходящийся ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n} \,$ ;
если $x=-1$ , $u_{n} (-1)=\frac{(-1)^{n} }{n}$ , то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} }{n} \, \,$ сходится условно (по признаку Лейбница).

Таким образом, область сходимости $D(x)$ ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{x^{n} }{n} \,$ имеет вид:$-1\le x

Свойства степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n}$ , у которого интервал сходимости $(-R;\, R)$ , тогда сумма степенного ряда $S(x)$ определена для всех $x\in (-R;R)$ и можно записать равенство $S(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n}$ .

Свойство 1. Степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n}$ сходится абсолютно в любом промежутке $[a;b]\, \, \subset \, (-R;R)$ , лежащем в интервале сходимости, причём сумма степенного ряда $S(x)$ является непрерывной функцией при всех $x\in [a;b]$ .

Свойство 2. Если отрезок $[a;b]\, \, \subset \, (-R;R)$ , то степенной ряд можнопочленно интегрировать от a до b, т.е. если

$S(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} =a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +...$ , то

$\int \limits _{a}^{b}S(x)\, {\rm d}x =\sum \limits _{n=0}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}a_{n} x^{n} \, {\rm d}x=\int \limits _{a}^{b}a_{0} {\rm d}x +\int \limits _{a}^{b}a_{1} x\, {\rm d}x +...+\int \limits _{a}^{b}a_{n} x^{n} \, {\rm d}x +...$ .

При этом радиус сходимости не меняется:

где $a'_{n} =\frac{a_{n} }{n+1}$ - коэффициенты проинтегрированного ряда.

Свойство 3. Сумма степенного ряда есть функция, имеющая внутри интервала сходимости производные любого порядка. Производные от суммы степенного ряда будут суммами рядов, полученных из данного степенного ряда почленным дифференцированием соответствующее число раз, причём радиусы сходимости таких рядов будут те же, что и у исходного ряда.

Если $S(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +...+a_{n} x^{n} +...=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\, a_{n} \cdot x^{n}$ ,то $S'(x)=a_{1} +2a_{2} x+...+na_{n} x^{n-1} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, n\cdot a_{n} \cdot x^{n-1}$ , $S''(x)=2a_{2} +6a_{3} x+...+n(n-1)a_{n} x^{n-2} +...=\sum \limits _{n=2}^{\infty }\, n\cdot (n-1)\cdot a_{n} \cdot x^{n-2}$ , ... , и т.д.

Примеры

Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }n!\; x^{n}$ сходится только в точке $x=0$ , во всех остальных точках ряд расходится. $V:\left\{0\right\}.$
Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n} }{n!}$ сходится во всех точках оси, $V=R$ .
Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} x^{n} }{n}$ сходится в области $V=(-1,\, 1]$ .
Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+\cos x}$ расходится во всех точках оси $V=$ $\emptyset$ .