Пуская задано числовую последовательность $a_1,\ a_2,\dots {,a}_n,\dots ,$ тогда выражение:
$a_1+\ a_2+\dots {+a}_n+\dots =\sum\limits^{\infty }_{n=1}{a_n}$называется числовым рядом (или рядом), а числа $a_1,\ a_2,\dots {,a}_n,\dots $ - членами ряда, $a_1$ -- первый член, $a_2$ -- второй член, \dots , $a_n$ -- $n$- й член или общий член ряда. Для того, что бы задать ряд, достаточно задать его общий член. Например, взяв $a_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{n}\ \left(n=1,2,\dots \right),$ получим ряд:
Введем понятия частичных сумм ряда: $S_1=\ a_1,\ \ S_2=a_1+a_2,\ \ S_3=a_1+a_2+a_3,\dots ,S_n=a_1+a_2+a_3+\dots +\ a_n,\ \dots \ \ .$ Эти частичные суммы образуют некоторую числовую последовательность $\left(S_n\right).$
Если последовательность частичных сумм $S_n$ ряда при неограниченном возрастании $n$, стремится к некоторому числу $S$, то есть:
${\mathop{lim}_{n\to \infty } S_n=\ }S,$то этот ряд называется сходящимся, а число $S$ -- его суммой.
В этом случае записывают:
\[S=a_1+\ a_2+\dots {+a}_n+\dots =\sum\limits^{\infty }_{n=1}{a_n}.\]В противоположном случае ряд называют расходящимся. Если
${\mathop{lim}_{n\to \infty } S_n=\ }\infty ,$то говорят, что расходящийся ряд имеет бесконечную сумму.
Исследовать сходимость ряда:
\[\sum\limits^{\infty }_{n\to 1}{{\left(-1\right)}^n.}\]Выпишем последовательность его частичных сумм: $S_1=\ -1,\ \ $$S_2=-1+1=0,\ S_3=-1+1-1=-1,\ {\ S}_3=-1+1-1+1=0,\dots ,$$S_{2n-1}=-1,S_{2n}=0.$ Эта последовательность не имеет границы, так как ряд расходящийся.
Исследовать сходимость ряда:
\[\sum\limits^{\infty }_{n\to 1}{\frac{1}{n(n+1)}.}\]Выпишем последовательность его частичных сумм:$\ S_1=\frac{1}{2},\ S_2=\frac{1}{6},\ S_3=\frac{1}{12},\ \dots ,S_n=\frac{1}{n\left(n+1\right)}.$ Легко увидеть, что $\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\left(1,2,\dots \right),$ то
\[S_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\dots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}\]Откуда:
${\mathop{lim}_{n\to \infty } S_n=\mathop{lim}_{n\to \infty }\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1.\ }$С этого видно, что ряд сходящийся.
Ряд
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}+\dots ={\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{1}{n}\ }$называют гармоническим.
Этот ряд расходящийся. Запишем n-ную частичную сумму таким образом $\left(n=2^k\right):$
\[S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{2^k}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\dots ++\left(\frac{1}{2^{k-1}+1}+\frac{1}{2^{k-1}+2}+\dots +\frac{1}{2^k}\right)>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\dots ++\underbrace{\left(\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k}+\dots +\frac{1}{2^k}\right)}_{k-1}=1+\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{2}}_{k}=1+\frac{k}{2}.\]Поэтому имеем, что $S_{2^k}>1+\frac{k}{2}.$ Отсюда
${\mathop{lim}_{k\to \infty } \ S_{2^k}\ }=+\infty .$Можно сделать вывод, что гармонический ряд расходящийся.
Геометрический ряд
Ряд вида
$a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+\dots +a_1q^{n-1}+\dots =\sum\limits^{\infty }_{n=1}{a_1q^{n-1}}$Называется геометрическим, а число $q$ -- знаменатель ряда.
Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда:
\[{S=a}_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+\dots +a_1q^{n-1}=\left\{ \begin{array}{c} \frac{a_1-a_1q^n}{1-q},\ \ \ q\ne 1, \\ na_1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q=1. \end{array} \right.\]Если $\left|q\right| \[{\mathop{lim}_{n\to \infty } S_n\ }={\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{a_1-a_1q^n}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}\ }.\]
С этого можно сделать вывод, что при $\left|q\right|
Если $\left|q\right|>1$, то ${\mathop{lim}_{n\to \infty } q^n\ }=\infty $ и ${\mathop{lim}_{n\to \infty } S_n\ }=\infty $. С этого можно сделать вывод что ряд расходящийся.
При $q=1$ имеем ${\mathop{lim}_{n\to \infty } S_n\ }=na_1=\infty $. Делаем вывод, что ряд расходящийся. При $q=-1$ получим ряд
$a_1-a_1+a_1-a_1+\dots +{\left(-1\right)}^{n+1}a_1+\dots =a_1\sum\limits^{\infty }_{n\to 1}{{\left(-1\right)}^{n-1}.}$Здесь $S_{2k}=0,\ \ $ $S_{2k-1}=a_1,\ k=1,2,\dots $ последовательность $S_n$ не имеет предела. Ряд расходящийся.
Из выше сказанного можно сделать вывод, что геометрический ряд сходящийся при $\left|q\right|
Найти сумму ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{9n^{2} -3n-2} $.
Вначале разложим знаменатель общего члена ряда на множители, используя корни квадратного уравнения:
\[U_{n} =\frac{1}{9n^{2} -3n-2} =\frac{1}{9\left(n-\frac{2}{3} \right)\cdot \left(n+\frac{1}{3} \right)} =\frac{1}{(3n-2)\cdot (3n+1)} .\]Давая n последовательно значения 1, 2, 3, ..., получим
\[\frac{1}{1\cdot 4} +\frac{1}{1\cdot 7} +\frac{1}{7\cdot 10} +...+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} .\]Для нахождения суммы ряда надо найти предел при n$\rightarrow$$\infty$ n-й частичной суммы
\[S_{n} =\frac{1}{1\cdot 4} +\frac{1}{4\cdot 7} +\frac{1}{7\cdot 10} +...+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} .\]Для того чтобы придать Sn более удобный вид для перехода к пределу, заменим дробь суммой простейших дробей:
\[\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} =\frac{A}{3n-2} +\frac{B}{3n+1} .\]Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим
\[1=A\cdot (3n+1)+B\cdot (3n-2).\]Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим
\[\left. \begin{array}{cc} {n} & {} \\ {n^{0} } & {} \end{array}\right|\begin{array}{cc} {} & {0=3A+3B,} \\ {} & {1=A-2B,} \end{array}\begin{array}{cc} {} & {A=-B} \\ {} & {1=-3B,} \end{array}\begin{array}{cc} {} & {} \\ {} & {B=-\frac{1}{3} ,\begin{array}{cc} {} & {A=\frac{1}{3} ;} \end{array}} \end{array}\]поэтому
\[\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} =\frac{1}{3\cdot (3n-2)} -\frac{1}{3\cdot (3n+1)} .\]Полагая здесь последовательно n = 1, 2, 3, ..., n, получим
$\frac{1}{1\cdot 4} =\frac{1}{3} -\frac{1}{12} $, $\frac{1}{4\cdot 7} =\frac{1}{12} -\frac{1}{21} $, $\frac{1}{7\cdot 10} =\frac{1}{21} -\frac{1}{30} $, ..., $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} =\frac{1}{3(3n-2)} -\frac{1}{3(3n+1)} $,
следовательно,
\[S_{n} =\left(\frac{1}{3} -\frac{1}{12} \right)+\left(\frac{1}{12} -\frac{1}{21} \right)+\left(\frac{1}{21} -\frac{1}{30} \right)+...+\left(\frac{1}{3(3n-2)} -\frac{1}{3(3n+1)} \right).\]Очевидно, что в этой сумме все слагаемые попарно уничтожаются, кроме первого и последнего, поэтому
$S_{n} =\frac{1}{3} -\frac{1}{3(3n+1)} $, откуда $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(\frac{1}{3} -\frac{1}{3(3n+1)} \right)=\frac{1}{3} $,
т. е. ряд сходится, и его сумма равна $\frac{1}{3} $.
Ответ: $S=\frac{1}{3} $.
