Системы неравенств с одним неизвестным

Система, которая содержит неравенства с одним неизвестным, еще называется системой линейных неравенств.

Например, $\left\{ \begin{array}{c} {x-1 >2,} \\ {3+x\le 7;} \end{array} \right.$

С этой целью необходимо отдельно найти все возможные решения каждого из неравенств системы, а после отыскать общее решение, которое состоит из общей части всех найденных решений, т. е. все значения, входящие в каждое из этих решений.

При решении любого вида системы из двух неравенств с одним неизвестным каждое неравенство сводится к виду $xc$ (переменная переносится в левую часть неравенства, а свободный член -- в правую). Результатом такого преобразования является получение простейших систем.

Рассмотрим возможные варианты таких систем:

Пусть $a

1. $\left\{ \begin{array}{c} {x

   Решение системы: $x

2. $\left\{ \begin{array}{c} {x >a,} \\ {x >b,} \end{array} \right.$

   Решение системы: $x >b$.

3. $\left\{ \begin{array}{c} {x >a,} \\ {x

   Решение системы: $a

4. $\left\{ \begin{array}{c} {xb,} \end{array} \right.$

Решение системы: система решения не имеет, т.к. не существует таких чисел, которые одновременно меньше меньшего числа и больше большего числа.

Все четыре случая описывают все возможные варианты систем из двух неравенств с одним неизвестным и интуитивно понятны.

Часто для решения систем как двух, так и большего числа неравенства, используют числовую прямую, на которую наносят все решения каждого из неравенств системы, а затем ищут те значения, которые принадлежат каждому из решений. Найденные значения и являются решением заданной системы неравенств.

Легко получить или проверить данное решение, если нанести решение каждого неравенства на числовую прямую. Сразу станет очевидным общее решение системы.

Пример 3

Найти значения, при которых дробь $\frac{3x+3}{8x-20}$ будет принимать отрицательные значения.

Решение.

Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель будут иметь разные знаки. Составим два возможных варианта системы:

1. $\left\{ \begin{array}{c} {3x+3 >0,} \\ {8x-20

2. $\left\{ \begin{array}{c} {3x+30.} \end{array} \right.$

Решим первую систему:

\[\left\{ \begin{array}{c} {3x+3 >0,} \\ {8x-20-1,} \\ {8x-1,} \\ {x

Решением первой системы будут значения переменной, удовлетворяющие условию $-1

Решим вторую систему:

\[\left\{ \begin{array}{c} {3x+30;} \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{c} {3x >-3,} \\ {8x2,5;}; \end{array} \right.\]

Данная система решений не имеет.

Ответ: дробь $\frac{3x+3}{8x-20}$ будет принимать отрицательные значения при $-1

При решении подобных примеров ошибочно составляют третью систему, которая состоит из решений первой и второй системы. Такой подход является грубой ошибкой, т.к. каждая из систем является самостоятельной и не зависит от другой.

Системы также могут состоять из нестрогих неравенств, которые содержат знаки $\le $ и $\ge $. Решение таких систем ничем не отличается от выше рассмотренных с той лишь разницей, что в случае нестрогого неравенства в решение включается значение конца или начала промежутка.