Система, которая содержит неравенства с одним неизвестным, еще называется системой линейных неравенств.
Система неравенств с одним неизвестным - это совокупность двух или большего числа неравенств, которые содержат одну и ту же неизвестную величину.
Например, {x−1>2,3+x≤7;
решения системы неравенствС этой целью необходимо отдельно найти все возможные решения каждого из неравенств системы, а после отыскать общее решение, которое состоит из общей части всех найденных решений, т. е. все значения, входящие в каждое из этих решений.
При решении любого вида системы из двух неравенств с одним неизвестным каждое неравенство сводится к виду xc (переменная переносится в левую часть неравенства, а свободный член -- в правую). Результатом такого преобразования является получение простейших систем.
Рассмотрим возможные варианты таких систем:
Пусть $a
$\left\{ \begin{array}{c} {x
Решение системы: $x
{x>a,x>b,
Решение системы: x>b.
$\left\{ \begin{array}{c} {x >a,} \\ {x
Решение системы: $a
{xb,
Решение системы: система решения не имеет, т.к. не существует таких чисел, которые одновременно меньше меньшего числа и больше большего числа.
Все четыре случая описывают все возможные варианты систем из двух неравенств с одним неизвестным и интуитивно понятны.
Часто для решения систем как двух, так и большего числа неравенства, используют числовую прямую, на которую наносят все решения каждого из неравенств системы, а затем ищут те значения, которые принадлежат каждому из решений. Найденные значения и являются решением заданной системы неравенств.
Найти решение системы:
\[\left\{ \begin{array}{c} {7x+19Решение.Преобразуем оба неравенства системы к виду xc):
\[\left\{ \begin{array}{c} {7x+19Мы получили 2-й вариант системы неравенств, при котором решением системы будет $xОтвет: $x
Легко получить или проверить данное решение, если нанести решение каждого неравенства на числовую прямую. Сразу станет очевидным общее решение системы.
Найти решение системы:
{4x−28.Решение.
Преобразуем оба неравенства системы к виду xc:
{4x−28. {2x14; {x7.Мы получили 4-й вариант системы неравенств, при котором система решений не имеет.
Ответ: система решений не имеет.
Найти значения, при которых дробь 3x+38x−20 будет принимать отрицательные значения.
Решение.
Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель будут иметь разные знаки. Составим два возможных варианта системы:
$\left\{ \begin{array}{c} {3x+3 >0,} \\ {8x-20
{3x+30.
Решим первую систему:
\[\left\{ \begin{array}{c} {3x+3 >0,} \\ {8x-20-1,} \\ {8x-1,} \\ {x
Решением первой системы будут значения переменной, удовлетворяющие условию $-1
Решим вторую систему:
{3x+30; {3x>−3,8x2,5;;
Данная система решений не имеет.
Ответ: дробь 3x+38x−20 будет принимать отрицательные значения при $-1
При решении подобных примеров ошибочно составляют третью систему, которая состоит из решений первой и второй системы. Такой подход является грубой ошибкой, т.к. каждая из систем является самостоятельной и не зависит от другой.
Системы также могут состоять из нестрогих неравенств, которые содержат знаки ≤ и ≥. Решение таких систем ничем не отличается от выше рассмотренных с той лишь разницей, что в случае нестрогого неравенства в решение включается значение конца или начала промежутка.
Найти решение системы:
{x+7≥3,2x≤−6.Решение.
Преобразуем оба неравенства системы к виду x≤c или x≥c:
{x+7≥3,2x≤−6. {x≥−4,x≤−3.Найдем решение с помощью числовой прямой:
Решением системы будут значения переменной, удовлетворяющие условию −4≤x≤−3.
Ответ: −4≤x≤−3.
