Система, которая содержит неравенства с одним неизвестным, еще называется системой линейных неравенств.
Система неравенств с одним неизвестным - это совокупность двух или большего числа неравенств, которые содержат одну и ту же неизвестную величину.
Например, $\left\{ \begin{array}{c} {x-1 >2,} \\ {3+x\le 7;} \end{array} \right.$
решения системы неравенствС этой целью необходимо отдельно найти все возможные решения каждого из неравенств системы, а после отыскать общее решение, которое состоит из общей части всех найденных решений, т. е. все значения, входящие в каждое из этих решений.
При решении любого вида системы из двух неравенств с одним неизвестным каждое неравенство сводится к виду $xc$ (переменная переносится в левую часть неравенства, а свободный член -- в правую). Результатом такого преобразования является получение простейших систем.
Рассмотрим возможные варианты таких систем:
Пусть $a
$\left\{ \begin{array}{c} {x
Решение системы: $x
$\left\{ \begin{array}{c} {x >a,} \\ {x >b,} \end{array} \right.$
Решение системы: $x >b$.
$\left\{ \begin{array}{c} {x >a,} \\ {x
Решение системы: $a
$\left\{ \begin{array}{c} {xb,} \end{array} \right.$
Решение системы: система решения не имеет, т.к. не существует таких чисел, которые одновременно меньше меньшего числа и больше большего числа.
Все четыре случая описывают все возможные варианты систем из двух неравенств с одним неизвестным и интуитивно понятны.
Часто для решения систем как двух, так и большего числа неравенства, используют числовую прямую, на которую наносят все решения каждого из неравенств системы, а затем ищут те значения, которые принадлежат каждому из решений. Найденные значения и являются решением заданной системы неравенств.
Найти решение системы:
\[\left\{ \begin{array}{c} {7x+19Решение.Преобразуем оба неравенства системы к виду $xc$):
\[\left\{ \begin{array}{c} {7x+19Мы получили 2-й вариант системы неравенств, при котором решением системы будет $xОтвет: $x
Легко получить или проверить данное решение, если нанести решение каждого неравенства на числовую прямую. Сразу станет очевидным общее решение системы.
Найти решение системы:
\[\left\{ \begin{array}{c} {4x-28.} \end{array} \right.\]Решение.
Преобразуем оба неравенства системы к виду $xc$:
\[\left\{ \begin{array}{c} {4x-28.} \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{c} {2x14;} \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{c} {x7.} \end{array} \right.\]Мы получили 4-й вариант системы неравенств, при котором система решений не имеет.
Ответ: система решений не имеет.
Найти значения, при которых дробь $\frac{3x+3}{8x-20}$ будет принимать отрицательные значения.
Решение.
Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель будут иметь разные знаки. Составим два возможных варианта системы:
$\left\{ \begin{array}{c} {3x+3 >0,} \\ {8x-20
$\left\{ \begin{array}{c} {3x+30.} \end{array} \right.$
Решим первую систему:
\[\left\{ \begin{array}{c} {3x+3 >0,} \\ {8x-20-1,} \\ {8x-1,} \\ {x
Решением первой системы будут значения переменной, удовлетворяющие условию $-1
Решим вторую систему:
\[\left\{ \begin{array}{c} {3x+30;} \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{c} {3x >-3,} \\ {8x2,5;}; \end{array} \right.\]
Данная система решений не имеет.
Ответ: дробь $\frac{3x+3}{8x-20}$ будет принимать отрицательные значения при $-1
При решении подобных примеров ошибочно составляют третью систему, которая состоит из решений первой и второй системы. Такой подход является грубой ошибкой, т.к. каждая из систем является самостоятельной и не зависит от другой.
Системы также могут состоять из нестрогих неравенств, которые содержат знаки $\le $ и $\ge $. Решение таких систем ничем не отличается от выше рассмотренных с той лишь разницей, что в случае нестрогого неравенства в решение включается значение конца или начала промежутка.
Найти решение системы:
\[\left\{ \begin{array}{c} {x+7\ge 3,} \\ {2x\le -6.} \end{array} \right.\]Решение.
Преобразуем оба неравенства системы к виду $x\le c$ или $x\ge c$:
\[\left\{ \begin{array}{c} {x+7\ge 3,} \\ {2x\le -6.} \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{c} {x\ge -4,} \\ {x\le -3.} \end{array} \right.\]Найдем решение с помощью числовой прямой:
Решением системы будут значения переменной, удовлетворяющие условию $-4\le x\le -3$.
Ответ: $-4\le x\le -3$.
