Решение дробно-рациональных неравенств

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие неравенства с одной переменной

Определение 1

Неравенство вида $f(x) > (≥)g(x)$ будет называться неравенством с одной переменной.

Определение 2

Значение $x$ , при котором выполняется неравенство из определения 1, называется корнем неравенства.

Если вспомнить курс лекций по математике и углубиться в тему «Дробно-рациональные неравенства», то можно изучить множество видов неравенств: линейные, тригонометрические, логарифмические, показательные… Приведем пример решения одного из таких неравенств с помощью построения совокупностей.

Пример 1

Решить $log_x(x+4)+log_x3 >log_x(2-2x)$

Решение.

Пользуясь свойством логарифма, получим

$log_x(3(x+4)) >lg(2-2x)$

$log_x(3x+12) >lg(2-2x)$

Данная система уравнений равносильна совокупности

Рисунок 1. Совокупность. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ответ: $(1,+∞)$ .

Дробно-рациональные неравенства

Рассмотрим теперь понятие дробно-рационального неравенства.

Определение 3

Неравенство, которое имеет вид $\frac{P(x)}{Q(x)} >( ≥)0$ будем называть дробно рациональным неравенством.

Решение дробных неравенств, а также решение рациональных неравенств зачастую осуществляется методом промежутков (интервалов). В основе этого метода лежит следующий алгоритм решения.

Пусть нам дана функция $f(x)=\frac{(x-n)(x-m)}{(x-l)(x-k)}$ , причем $n$

$x∈(-∞,n)$ :

Используя неравенство (1), будем получать:

$(x-n)$

Четыре минуса, в общем, нам дадут плюсовое значение, то есть $f(x) >0$ .

$x∈(n,m)$ :

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n) >0$ , $(x-m)$

Три минуса, в общем, нам дадут минусовое значение, то есть $f(x)$

«Решение дробно-рациональных неравенств» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

$x∈(m,l)$ :

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n) >0, (x-m) >0$ , $(x-l)$

Два минуса, в общем, нам дадут плюсовое значение, то есть $f(x) >0$ .

$x∈(l,k)$ :

Используя неравенство (1) получим:

$(x-n) >0, (x-m) >0, (x-l) >0$ , $(x-k)$

Один минус дает нам минусовое значение, то есть $f(x)$

$x∈(k,+∞)$ :

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n) >0, (x-m) >0, (x-l) >0, (x-k) >0$ .

Все плюсы нам дадут плюсовое значение, то есть $f(x) >0$

Это рассуждение можно иллюстрировать на числовой прямой (рис. 2).

<a href= Числовая прямая. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ" />

Рисунок 2. Числовая прямая. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Эта иллюстрация называется кривой знаков и используется для решения рациональных и других неравенств $q(x) >( ≥)0$ методом промежутков.

Такое рассуждение справедливо для любого количества линейных множителей и в числителе, и в знаменателе. Также справедливо для случая, когда параметры не являются линейными. Поэтому из него можно вывести метод для решения большинства уравнений (и не только рациональных).

Замечание 1

На самом деле знаки на такой кривой не всегда чередуются. К примеру, такое может быть при наличии в уравнение квадратного множителя.

Метод промежутков (интервалов)

Вначале необходимо найти все корни уравнения $q(x)=0$ и части, в которых область определения имеет разрыв.
И всех полученных в пункте $1$ числовых значений составляем кривую знаков для данного уравнения.
Записываем ответ из кривой знаков, с учетом знака неравенства.

Пример решения рациональных и дробных неравенств методом промежутков.

Пример 2

Решить.

$\frac{(z-1)^7 (z+2)^4}{z≤ 0}$

Решение.

Решим для начала следующее уравнение и найдем точки разрыва ее области определения:

$\frac{(z-1)^7 (z+2)^4}{z}=0$

$(z-1)^7 (z+2)^4=0$

Корни: $z=1$ и $z=-2$

$z=0$ -точка разрыва области определения.

Изобразим все полученные точки на числовой прямой и построим кривую знаков:

Рисунок 3. Кривая. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Так как у нас знак неравенства «меньше или равно», то нам нужно выбрать промежуток со знаком минус, причем $1$ нужно включить в решение, а ноль (так как он не попадает в область определения) нет. Также необходимо не забыть значение $z=-2$ .

Ответ: ${-2}∪(0,1]$ .