Расстояние между точками на координатной плоскости

Часто возникающая на практике задача — это поиск расстояния между двумя точками на координатной плоскости. Рассмотрим подробнее, как это делается.

Допустим, есть необходимость найти расстояние между двумя точками $A$ с координатами $(x_1;y_1)$ и $B$ с координатами $(x_2; y_2)$. Соединим их отрезком $AB$ (рис. 1). Расстояние между двумя точками есть не что иное, как длина этого отрезка.

плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ" />

Рисунок 1. Расстояние между точками на координатной плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Опустим из точек $A$ и $B$ перпендикуляры на ось абсцисс и ось ординат (рис. 2). На пересечении этих перпендикуляров отметим точку $C$. Получается прямоугольный треугольник $ABC$.

Рисунок 2. Перпендикуляры на оси Оx и Oy. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сторона $AC$ этого треугольника — это проекция $AB$ на ось абсцисс, соответственно, её длина представляет собой разность между координатами $x_2$ и $x_1$:

$AC=x_2-x_1$

Сторона $BC$ — это проекция $AB$ на ось ординат, соответственно, её длина равна разности между $y_2$ и $y_1$:

$BC=x_2-x_1$

Теперь вспомним теорему Пифагора:

$AB^2= AC^2 + BC^2$, выражаем $AB$:

$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Так мы получили формулу вычисления расстояния между двумя точками, выпишем её отдельно:

$d= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\left(1\right)$