Вычисления производной любого порядка

Найти производную третьего порядка

Решение.

1. Запишем производную по формуле Лейбница
$$y^{(3)} (x)=\left(5x^{2} \right)^{(3)} \ln x+C_{3}^{1} \left(5x^{2} \right){{'} } {{'} } \ln x'+C_{3}^{2} \left(5x^{2} \right){{'} } \ln x''+5x^{2} \ln x^{(3)}$$
2. Посчитаем коэффициенты при слагаемых
$$C_{3}^{1} =\frac{3!}{1!(3-1)!} =\frac{3!}{2!} =\frac{2!3}{2!} =3$$ $$C_{3}^{2} =\frac{3!}{2!(3-2)!} =\frac{3!}{2!} =\frac{2!3}{2!} =3$$
3. Найдем производные первого сомножителя
$$\left(5x^{2} \right){{'} } =10x$$ $$\left(5x^{2} \right){{'} } {{'} } =\left(10x\right){{'} } =10$$ $$\left(5x^{2} \right){{'} } {{'} {'} } =\left(10\right){{'} } =1$$
4. Найдем производные второго сомножителя
$$\ln x'=\frac{1}{x}$$ $$\ln x''=\left(\frac{1}{x} \right){{'} } =-\frac{1}{x^{2} }$$ $$\ln x'''=\left(-\frac{1}{x^{2} } \right){{'} } =\frac{2}{x^{3} }$$
5. Подставим найденные значения в формулу Лейбница
$$y^{(3)} (x)=1\cdot \ln x+3\cdot 10\cdot \frac{1}{x} -3\cdot 10x\cdot \frac{1}{x^{2} } +5x^{2} \frac{2}{x^{3} }$$
6. Упростим выражение
$$y^{(3)} (x)=\ln x+\frac{30}{x} -\frac{30}{x} +\frac{10}{x} =\ln x+\frac{10}{x}$$

Найти производную четвертого порядка

Решение.

1. Запишем производную по формуле Лейбница
$$y^{(4)} (x)=\left(e^{4x} \right)^{(4)} \sin 3x+C_{4}^{1} \left(e^{4x} \right)^{(3)} \sin 3x'+C_{4}^{2} \left(e^{4x} \right)^{(2)} \sin 3x''+C_{4}^{3} \left(e^{4x} \right){{'} } \sin 3x'''+e^{4x} \sin 3x^{(4)}$$
2. Посчитаем коэффициенты при слагаемых
$$C_{4}^{1} =\frac{4!}{1!(4-1)!} =\frac{4!}{3!} =\frac{3!4}{3!} =4$$ $$C_{4}^{2} =\frac{4!}{2!(4-2)!} =\frac{4!}{2!2!} =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2} =6$$ $$C_{4}^{3} =\frac{4!}{3!(4-3)!} =\frac{4!}{3!1!} =\frac{3!4}{3!} =4$$
3. Найдем производные первого сомножителя
$$\left(e^{4x} \right){{'} } =e^{4x} \cdot 4x'=4e^{4x}$$ $$\left(e^{4x} \right){{'} } {{'} } =\left(4e^{4x} \right){{'} } =16e^{4x}$$ $$\left(e^{4x} \right){{'} } {{'} } {{'} } =\left(16e^{4x} \right){{'} } =64e^{4x}$$ $$\left(e^{4x} \right)^{(4)} =\left(64e^{4x} \right){{'} } {{'} } {{'} } =256e^{4x}$$
4. Найдем производные второго сомножителя
$$\sin 3x'=\cos 3x\cdot 3x'=3\cos 3x$$ $$\sin 3x''=\left(3\cos 3x\right){{'} } =3\left(-\sin 3x\right)\cdot \left(3x\right){{'} } =-9\sin 3x$$ $$\sin 3x'''=\left(-9\sin 3x\right){{'} } ^{} =-27\cos 3x$$ $$\sin 3x^{(4)} =\left(-27\cos 3x\right){{'} } =81\sin 3x$$
5. Подставим найденные значения в формулу Лейбница
$$y^{(4)} (x)=256e^{4x} \sin 3x+4\cdot 64e^{4x} \cdot 3\cos 3x+6\cdot 16e^{4x} \cdot \left(-9\sin 3x\right)+4\cdot 4e^{4x} \cdot \left(-27\cos 3x\right)+e^{4x} \cdot 81\sin 3x$$
6. Упростим
$$y^{(4)} (x)=e^{4x} (336\cos 3x-527\sin 3x)$$

Найти производную пятого порядка

Решение.

1. Запишем производную по формуле Лейбница
$$x^{10} {{'} } =10x^{9}$$
2. Посчитаем коэффициенты при слагаемых
$$C_{5}^{1} =\frac{5!}{1!(5-1)!} =\frac{4!5}{4!} =5$$ $$C_{5}^{2} =\frac{5!}{2!(5-2)!} =\frac{3!4\cdot 5}{2!3!} =10$$ $$C_{5}^{3} =\frac{5!}{3!(4-2)!} =\frac{5!}{3!2!} =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2} =10$$ $$C_{5}^{4} =\frac{5!}{4!(5-4)!} =\frac{5!}{4!} =\frac{4!5}{4!} =5$$
3. Производная любого порядка $ех$ равна $ех$
4. Найдем производные второго сомножителя
$$x^{10}{{'} } =10x^{9}$$ $$x^{10}{{'} }{{'} } =\left(10x^{9} \right){{'} } =90x^{8}$$ $$x^{10}{{'} }{{'} }{{'} } =\left(90x^{8} \right){{'} } =720x^{7}$$ $$x^{10}{(4)} =720x^{7} {{'} } =5040x^{6}$$ $$x^{10}{(5)} =5040x^{6} {{'} } =30240x^{5}$$
5. Подставим найденные значения в формулу Лейбница
$$y^{(5)} (x)=30240x^{5} e^{x} +5\cdot 5040x^{6} e^{x} +10\cdot 720x^{7} e^{x} +10\cdot 90x^{8} e^{x} +5\cdot 10x^{9} e^{x} +x^{10} e^{x}$$
6. Упростим
$$y^{(5)} (x)=30240x^{5} e^{x} +25200x^{6} e^{x} +7200x^{7} e^{x} +900x^{8} e^{x} +50x^{9} e^{x} +x^{10} e^{x} =$$ $$y^{(5)} (x)=x^{5} e^{x} \left(30240+25200x+7200x^{2} +900x^{3} +50x^{4} +x^{5} \right)$$