Параметрический способ задания функций
Пусть даны два уравнения
x=ϕ(t) и y=ψ(t)
В которых t принимает значения с отрезка n1;n2. Каждому значению t соответствуют значения x и y -- координаты точки на плоскости Оxy.
Когда t изменяет свое значение на промежутке от n1 до n2, точка описывает некоторую кривую. Уравнения x=ϕ(t) и y=ψ(t) получили название параметрических для кривой, а t -- параметра.
Предположим, что функция x=ϕ(t) имеет обратную функцию t= (x). Тогда справедливо равенство:
Параметрический способ задания функций широко применяется в механике. Так, если в плоскости некоторая материальная точка находится в движении (время t), и законы движения проекций этой точки на оси координат известны:
Уравнения являются параметрическими уравнениями траекторий движущейся точки. Исключая временной параметр, получим уравнение траектории в форме y=f(x).
Определить траекторию и место падения груза, сброшенного с самолета, движущегося горизонтально со скорость v0 на высоте y0.
Решение.
Допустим, что груз сбрасывается с момент пересечения самолетом оси Oy. Тогда очевидно, что горизонтальное перемещение груза равномерно и имеет постоянную скорость:
x=v0t
А вертикальное перемещение:
s=gt22Следовательно, расстояние от груза до земли в произвольный момент падения:
y=y0−gt22Уравнения горизонтального и вертикального перемещения тела являются параметрическими. Для того, чтобы исключить временной параметр t, найдем его значение из первого уравнения.
t=xv0Полученное выражение подставим во второе параметрическое уравнение чтобы найти уравнение траектории:
y=y0−g2v20x2Откуда:
x=v0√2y0gУравнения некоторых кривых в параметрической форме:
- Окружность
- Гипербола
Уравнение окружности имеет вид:
x2+y2=r2Параметрические кривые окружности:
x=rcosty=rsintРисунок 1. Окружность и ее параметрические кривые
Уравнение гиперболы имеет вид:
x2a2−y2b2=1Параметрические кривые гиперболы:
|x|=a⋅chty=b⋅chtРисунок 2. Гипербола и ее параметрические кривые
Записать уравнение окружности в параметрическом виде.
x2+y2=36Решение.
- Представим уравнение окружности в виде: x2+y2=r2
- Параметрические кривые окружности: x=rcosty=rsint
Значит, радиус r равен 6.
Записать уравнение гиперболы в параметрическом виде.
x225−y29=1Решение.
- Представим уравнение гиперболы в виде: x252−y232=1
- Параметрические кривые гиперболы: |x|=5⋅chty=3⋅cht