Рассмотрим движущуюся по направлению прямой линии точку. Пройденный ею путь s, отсчитываемый от какой-то предельной точки на прямой -- функция времени t:
s = f(x)
Таким образом, любому моменту времени t соответствует конкретное значение s. Придадим времени приращение $\Delta $t, и тогда новому моменту времени t + $\Delta $t будет соответствовать расстояние s + $\Delta $s.
Если точка движется равномерно, приращение пути будет прямо пропорционально приращению времени, и постоянная скорость движения равна отношению:
Данное отношение находится в зависимости от выбранного момента времени t и от приращения $\Delta $t и называется средней скоростью движения за промежуток времени от t до t + $\Delta $t.
Средняя скорость выражает скорость наблюдаемой нами точки, которая, двигаясь равномерно, за промежуток $\Delta $t проходит путь $\Delta $s.
Скорость точки в конкретный момент времени:
Найдем среднее равномерно ускоренное движение и скорость точки в конкретный момент времени, если:
\[s=\frac{1}{2} gt^{2} +v_{0} t\]Решение.
\[\frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{\frac{1}{2} g\left(t+\Delta t\right)^{2} +v_{0} \left(t+\Delta t\right)-\frac{1}{2} gt^{2} -v_{0} t}{\Delta t} =gt+v_{0} +\frac{1}{2} g\Delta t\]Чем меньше приращение времени, тем равномерней движение рассматриваемой точки в данный момент времени. Скорость точки в конкретный момент времени:
\[v=\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} gt+v_{0} +\frac{1}{2} g\Delta t=gt+v_{0} \]Скорость так же, как и путь -- функция от t, производная функции f(t) по t. Таким образом, скорость -- производная от пути по времени.
Пусть функция y=f(x) определена при некотором фиксированном значении x и при всех близких к нему значениях х + $\Delta $х. Где х -- любое положительное или отрицательное число, достаточно малое по абсолютному значению, а $\Delta $х -- приращение числа. Соответствующее приращение функции будет иметь вид:
\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\]Тогда отношение приращений:
$\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $ (1)Отношение определено при всех достаточно малых по абсолютной величине значениях $\Delta $х на промежутке $-m\le \Delta E\le m$ кроме $\Delta $х = 0.
Выражение (1) является функцией только от $\Delta $х!
Если отношение
\[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]Имеет конечный предел при стремлении приращения независимой переменной к 0, то такой предел называется производной функции f(х) при заданном х.
Иначе говоря, производной данной функции f(x) при заданном значении х называется предел отношений $\frac{\Delta y}{\Delta x} $ приращения $\Delta $у функции к соответствующему приращению независимого переменного стремящегося к нулю.
\[f`(x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]Найти производную функции, опираясь на механический смысл производной:
\[f(x)=3x^{2} -5\]Решение.
- Добавим к неизвестной приращение и возведем скобку в квадрат по арифметическим правилам \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{3(x+\Delta x)^{2} -5-3x^{2} +5}{\Delta x} =\frac{3(x^{2} +2x\Delta x+\Delta x^{2} )-5-3x^{2} +5}{\Delta x} \]
- Упростим выражение и сократим на знаменатель всю дробь: \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{3x^{2} +6x\Delta x+3\Delta x^{2} -3x^{2} }{\Delta x} =6x+3\Delta x\]
Найдем предел приращения при его стремлении к 0:
\[f`(x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =6x+3\Delta x=6x+3*0=6x\]Ответ: Производная функции равна 6х.
Найти производную функции, опираясь на механический смысл производной:
\[f(x)=\sqrt{E} \]Решение.
- Внесем под знак корня дополнительное приращение функции и выполним операцию «искусственного» умножения на выражение $\sqrt{E+\Delta E} +\sqrt{E} $ как числителя, так и знаменателя \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{\sqrt{E+\Delta E} -\sqrt{E} }{\Delta x} =\frac{\left(\sqrt{E+\Delta E} -\sqrt{E} \right)\left(\sqrt{E+\Delta E} +\sqrt{E} \right)}{\Delta x\left(\sqrt{E+\Delta E} +\sqrt{E} \right)} =\]
- Выполним преобразования \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{\Delta x}{\Delta x\left(\sqrt{E+\Delta E} +\sqrt{E} \right)} =\frac{1}{\left(\sqrt{E+\Delta E} +\sqrt{E} \right)} \]
Найдем предел приращения при его стремлении к 0:
\[f`(x)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{1}{\left(\sqrt{E+\Delta E} +\sqrt{E} \right)} =\frac{1}{2\sqrt{E} } \]
