Квадрат производной

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение

Квадратом производной является операция возведения результата вычисления производной в степень 2.

$\left(y'\right)^{2} =y'\cdot y'$

Например, в результате вычислений получено:

$y'=8x+1$

Квадрат производной будет равен:

$\left(y'\right)^{2} =\left(8x+1\right)^{2} =64x^{2} +16x+1$

Пример 1

Найти квадрат производной

$y=\ln (x^{2} -1)$

Решение.

По формуле:

$\left(\ln f(x)\right){{'} } =\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)$

Распишем производную сложной функции

$y'=\frac{1}{x^{2} -1} \cdot \left(x^{2} -1\right){{'} }$

Найдем производную вложенной функции

$y'=\frac{1}{x^{2} -1} \cdot \left(x^{2} -1\right){{'} } =\frac{2x}{x^{2} -1}$

Найдем квадрат производной

$\left(y'\right)^{2} =\left(\frac{2x}{x^{2} -1} \right)^{2} =\frac{4x^{2} }{\left(x^{2} -1\right)^{2} }$

Пример 2

Найти квадрат производной четвертого порядка

$y=2x^{5} +3x^{3} -x^{2}$

Решение.

Найдем производную первого порядка

$y'=\left(x^{5} +3x^{3} -x^{2} \right){{'} } =5x^{4} +9x^{2} -2x$

Найдем производную второго порядка

$y''=\left(5x^{4} +9x^{2} -2x\right){{'} } =20x^{3} +18x-2$

Найдем производную третьего порядка

$y'''=\left(20x^{3} +18x-2\right){{'} } =60x^{2} +18$

Найдем производную четвертого порядка

$y''''=\left(60x^{2} +18\right){{'} } =120x$

Найдем квадрат четвертой производной

$\left(y''''\right)^{2} =\left(120x\right)^{2} =14400x^{2}$

Пример 3

Найти вторую производную неявной функции.

$x^{2} +xy^{3} =3$

Решение.

Приведем функцию к виду F(x;y(x)) = 0

$x^{2} +xy^{3} -3=0$

Продифференцируем полученное равенство

$\left(x^{2} +xy^{3} -3\right){{'} } =0'$

По свойству линейности:

$x^{2}{{'} } +\left(xy^{3} \right){{'} } -3'=0'$

Второе слагаемое -- сложная функция

$2x+\left(x'y^{3} +xy^{3} {{'} } \right)=0$

$2x+y^{3} +3xy^{2} \cdot y{{'} } =0$

Выразим $y'$

$y{{'} } =\frac{-2x-y^{3} }{3xy^{2} }$

Продифференцируем полученное выражение повторно

$2\left(x\right){{'} } +\left(y^{3} \right){{'} } +3\left(xy^{2} \cdot y{{'} } \right){{'} } =0$

$2+3y^{2} \cdot y{{'} } +3\left(\left(xy^{2} \right){{'} } \cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0$

$2+3y^{2} \cdot y{{'} } +3\left(\left(x'y^{2} +xy^{2} {{'} } \right)\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0$

$2+3y^{2} \cdot y{{'} } +3\left(\left(y^{2} +2xy\cdot y'\right)\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0$

Упростим

$2+3y^{2} \cdot y{{'} } +3\left(y^{2} y{{'} } +2xyy'^{2} +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0$

Заменим $y'$ полученным выше выражением. В скобках получили квадрат производной вычисления которого производится по приведенному выше правилу.

$2+3y^{2} \cdot \frac{-2x-y^{3} }{3xy^{2} } +3\left(y^{2} \frac{-2x-y^{3} }{3xy^{2} } +2xy\left(\frac{-2x-y^{3} }{3xy^{2} } \right)^{2} +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0$

$2+\frac{-2x-y^{3} }{x} +3\left(\frac{-2x-y^{3} }{3x} +\frac{2\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0$

Приведем выражение к общему знаменателю и упростим

$3\left(\frac{y^{3} \left(-2x-y^{3} \right)}{3xy^{3} } +\frac{2\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=\frac{2x+y^{3} }{x} -2$

$3xy\cdot y{{'} } {{'} } =\frac{2x+y^{3} }{x} -2-\frac{3y^{3} \left(-2x-y^{3} \right)+6\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} }$

$3xy\cdot y{{'} } {{'} } =\frac{3y^{3} \left(2x+y^{3} \right)}{3xy^{3} } -\frac{2\cdot 3xy^{3} }{3xy^{3} } -\frac{3y^{3} \left(-2x-y^{3} \right)+6\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} }$

Выразим вторую производную и упростим

$y{{'} } {{'} } =\frac{6xy^{3} +6\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} \cdot 3xy} =\frac{6xy^{3} +24x^{2} +24xy^{3} +6y^{6} }{3xy^{3} \cdot 3xy} =\frac{3xy^{3} +8x^{2} +8xy^{3} +3y^{6} }{3x^{2} y^{4} }$

Дата последнего обновления статьи: 11.12.2024