Дифференциалы высших порядков

Найти дифференциал третьего порядка функции.

$$y(x)=x^{4} +2\arccos x$$

Решение.

1. По определению дифференциала, дифференциал 3 порядка равен: $$d^{3} y=y'''(x)dx^{3}$$
2. Продифференцируем данную функцию по х:
$$y'(x)=(x^{4} +2\arccos x)'=(x^{4} )'+2(\arccos x)'=4x^{3} -\frac{2}{\sqrt{1-x^{2} } }$$
3. Вычислим вторую производную
$$y''(x)=\left(4x^{3} -\frac{2}{\sqrt{1-x^{2} } } \right)^{{'} } =12x^{2} -2\left((1-x^{2} )^{-\frac{1}{2} } \right)^{{'} } =12x^{2} -2\frac{1}{2} (1-x^{2} )^{-\frac{3}{2} } (1-x^{2} )'$$ $$y''(x)=12x^{2} -2x(1-x^{2} )^{-\frac{3}{2} }$$
4. Вычислим третью производную
$$y'''(x)=\left(12x^{2} -2x(1-x^{2} )^{-\frac{3}{2} } \right)^{{'} } =24x-\left(2(1-x^{2} )^{-\frac{3}{2} } +2x\left((1-x^{2} )^{-\frac{1}{2} } \right)^{{'} } \right)$$ $$y'''(x)=\left(12x^{2} -2x(1-x^{2} )^{-\frac{3}{2} } \right)^{{'} } =24x-2(1-x^{2} )^{-\frac{3}{2} } -4\frac{3}{2} x^{2} (1-x^{2} )^{-\frac{5}{2} }$$ $$y'''(x)=24x-\frac{2}{\sqrt{(1-x^{2} )^{3} } } -\frac{6x^{2} }{\sqrt{(1-x^{2} )^{5} } }$$
5. Подставим полученную производную в формулу дифференциала второго порядка:
$$d^{3} y=y'''(x)dx^{3} =\left(24x-\frac{2}{\sqrt{(1-x^{2} )^{3} } } -\frac{6x^{2} }{\sqrt{(1-x^{2} )^{5} } } \right)dx^{3}$$

Найти дифференциал 4 порядка функции.

$$y(x)=e^{4x} \sin 3x$$

Решение.

1. Запишем производную по формуле Лейбница
$$y^{(4)} (x)=\left(e^{4x} \right)^{(4)} \sin 3x+C_{4}^{1} \left(e^{4x} \right)^{(3)} \sin 3x'+C_{4}^{2} \left(e^{4x} \right)^{(2)} \sin 3x''+C_{4}^{3} \left(e^{4x} \right){{'} } \sin 3x'''+e^{4x} \sin 3x^{(4)}$$
2. Посчитаем коэффициенты при слагаемых
$$C_{4}^{1} =\frac{4!}{1!(4-1)!} =\frac{4!}{3!} =\frac{3!4}{3!} =4$$ $$C_{4}^{2} =\frac{4!}{2!(4-2)!} =\frac{4!}{2!2!} =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2} =6$$ $$C_{4}^{3} =\frac{4!}{3!(4-3)!} =\frac{4!}{3!1!} =\frac{3!4}{3!} =4$$
3. Найдем производные первого сомножителя
$$\left(e^{4x} \right){{'} } =e^{4x} \cdot 4x'=4e^{4x}$$ $$\left(e^{4x} \right){{'} } {{'} } =\left(4e^{4x} \right){{'} } =16e^{4x}$$ $$\left(e^{4x} \right){{'} } {{'} } {{'} } =\left(16e^{4x} \right){{'} } =64e^{4x}$$ $$\left(e^{4x} \right)^{(4)} =\left(64e^{4x} \right){{'} } {{'} } {{'} } =256e^{4x}$$
4. Найдем производные второго сомножителя
$$\sin 3x'=\cos 3x\cdot 3x'=3\cos 3x$$ $$\sin 3x''=\left(3\cos 3x\right){{'} } =3\left(-\sin 3x\right)\cdot \left(3x\right){{'} } =-9\sin 3x$$ $$\sin 3x'''=\left(-9\sin 3x\right){{'} } ^{} =-27\cos 3x$$ $$\sin 3x^{(4)} =\left(-27\cos 3x\right){{'} } =81\sin 3x$$
5. Подставим найденные значения в формулу Лейбница
$$y^{(4)} (x)=256e^{4x} \sin 3x+4\cdot 64e^{4x} \cdot 3\cos 3x+6\cdot 16e^{4x} \cdot \left(-9\sin 3x\right)+4\cdot 4e^{4x} \cdot \left(-27\cos 3x\right)+e^{4x} \cdot 81\sin 3x$$
6. Упростим
$$y^{(4)} (x)=e^{4x} (336\cos 3x-527\sin 3x)$$
7. Формула дифференциала 4 порядка имеет вид:
$$d^{\left(4\right)} y=y^{(4)} (x)dx^{4}$$ $$d^{\left(4\right)} y=e^{4x} (336\cos 3x-527\sin 3x)dx^{4}$$

Найти дифференциал 3 порядка функции

$$y=5^{2x-5}$$

Решение.

Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка

$$\left(a^{kx+b} \right)^{(n)} =k^{n} a^{kx+b} \ln ^{n} a$$

Где $k = 2, b = -5, a = 5, n = 3$

$$y^{(3)} =\left(5^{2x-5} \right)^{(3)} =2^{3} \cdot 5^{2x-5} \cdot \ln ^{3} 5$$ $$y^{(3)} =2^{3} \cdot 5^{2x-5} \cdot \ln ^{3} 5=\frac{8\cdot 25^{x} }{3125} \ln ^{3} 5$$

Формула дифференциала 3 порядка имеет вид:

$$d^{\left(3\right)} y=y^{(3)} (x)dx^{3}$$ $$d^{\left(3\right)} y=\frac{8\cdot 25^{x} }{3125} \ln ^{3} 5dx^{3}$$