Пусть дана функция y = f(x), где х - независимая переменная. Дифференциал этой функции есть некоторая функция от х, но от х зависит только первый сомножитель f '(x) второй же сомножитель dx является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит.
dy=f′(x)dx
Функция dy есть функция от x и называется дифференциалом.
Что такое дифференциал второго, третьего и n-го порядка функции
Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y.
d2y=d(dy)
Третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется~дифференциал~от ее второго дифференциала:
d3y=d(d2y)=f‴(x)dx3
Дифференциалом n-го порядка является дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка:
dny=d(dn−1y)
Найти дифференциал третьего порядка функции.
y(x)=x4+2arccosxРешение.
- По определению дифференциала, дифференциал 3 порядка равен:
d3y=y‴(x)dx3
- Продифференцируем данную функцию по х: y′(x)=(x4+2arccosx)′=(x4)′+2(arccosx)′=4x3−2√1−x2
- Вычислим вторую производную y″(x)=(4x3−2√1−x2)′=12x2−2((1−x2)−12)′=12x2−212(1−x2)−32(1−x2)′
- Вычислим третью производную y‴(x)=(12x2−2x(1−x2)−32)′=24x−(2(1−x2)−32+2x((1−x2)−12)′)
- Подставим полученную производную в формулу дифференциала второго порядка: d3y=y‴(x)dx3=(24x−2√(1−x2)3−6x2√(1−x2)5)dx3
Найти дифференциал 4 порядка функции.
y(x)=e4xsin3xРешение.
- Запишем производную по формуле Лейбница y(4)(x)=(e4x)(4)sin3x+C14(e4x)(3)sin3x′+C24(e4x)(2)sin3x″+C34(e4x)′sin3x‴+e4xsin3x(4)
- Посчитаем коэффициенты при слагаемых C14=4!1!(4−1)!=4!3!=3!43!=4
- Найдем производные первого сомножителя (e4x)′=e4x⋅4x′=4e4x
- Найдем производные второго сомножителя sin3x′=cos3x⋅3x′=3cos3x
- Подставим найденные значения в формулу Лейбница y(4)(x)=256e4xsin3x+4⋅64e4x⋅3cos3x+6⋅16e4x⋅(−9sin3x)+4⋅4e4x⋅(−27cos3x)+e4x⋅81sin3x
- Упростим y(4)(x)=e4x(336cos3x−527sin3x)
- Формула дифференциала 4 порядка имеет вид: d(4)y=y(4)(x)dx4
Найти дифференциал 3 порядка функции
y=52x−5Решение.
Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка
(akx+b)(n)=knakx+blnnaГде k=2,b=−5,a=5,n=3
y(3)=(52x−5)(3)=23⋅52x−5⋅ln35Формула дифференциала 3 порядка имеет вид:
d(3)y=y(3)(x)dx3