Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция y = f(x), где х - независимая переменная. Дифференциал этой функции есть некоторая функция от х, но от х зависит только первый сомножитель f '(x) второй же сомножитель dx является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит.

dy=f(x)dx

Функция dy есть функция от x и называется дифференциалом.

Что такое дифференциал второго, третьего и n-го порядка функции

Определение

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y.

d2y=d(dy)

Определение

Третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется~дифференциал~от ее второго дифференциала:

d3y=d(d2y)=f(x)dx3

Определение

Дифференциалом n-го порядка является дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка:

dny=d(dn1y)

Пример 1

Найти дифференциал третьего порядка функции.

y(x)=x4+2arccosx

Решение.

  1. По определению дифференциала, дифференциал 3 порядка равен: d3y=y(x)dx3
  2. Продифференцируем данную функцию по х:
  3. y(x)=(x4+2arccosx)=(x4)+2(arccosx)=4x321x2
  4. Вычислим вторую производную
  5. y(x)=(4x321x2)=12x22((1x2)12)=12x2212(1x2)32(1x2)
    y(x)=12x22x(1x2)32
  6. Вычислим третью производную
  7. y(x)=(12x22x(1x2)32)=24x(2(1x2)32+2x((1x2)12))
    y(x)=(12x22x(1x2)32)=24x2(1x2)32432x2(1x2)52
    y(x)=24x2(1x2)36x2(1x2)5
  8. Подставим полученную производную в формулу дифференциала второго порядка:
  9. d3y=y(x)dx3=(24x2(1x2)36x2(1x2)5)dx3
«Дифференциалы высших порядков» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Пример 2

Найти дифференциал 4 порядка функции.

y(x)=e4xsin3x

Решение.

  1. Запишем производную по формуле Лейбница
  2. y(4)(x)=(e4x)(4)sin3x+C14(e4x)(3)sin3x+C24(e4x)(2)sin3x+C34(e4x)sin3x+e4xsin3x(4)
  3. Посчитаем коэффициенты при слагаемых
  4. C14=4!1!(41)!=4!3!=3!43!=4
    C24=4!2!(42)!=4!2!2!=12341212=6
    C34=4!3!(43)!=4!3!1!=3!43!=4
  5. Найдем производные первого сомножителя
  6. (e4x)=e4x4x=4e4x
    (e4x)=(4e4x)=16e4x
    (e4x)=(16e4x)=64e4x
    (e4x)(4)=(64e4x)=256e4x
  7. Найдем производные второго сомножителя
  8. sin3x=cos3x3x=3cos3x
    sin3x=(3cos3x)=3(sin3x)(3x)=9sin3x
    sin3x=(9sin3x)=27cos3x
    sin3x(4)=(27cos3x)=81sin3x
  9. Подставим найденные значения в формулу Лейбница
  10. y(4)(x)=256e4xsin3x+464e4x3cos3x+616e4x(9sin3x)+44e4x(27cos3x)+e4x81sin3x
  11. Упростим
  12. y(4)(x)=e4x(336cos3x527sin3x)
  13. Формула дифференциала 4 порядка имеет вид:
  14. d(4)y=y(4)(x)dx4
    d(4)y=e4x(336cos3x527sin3x)dx4
Пример 3

Найти дифференциал 3 порядка функции

y=52x5

Решение.

Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка

(akx+b)(n)=knakx+blnna

Где k=2,b=5,a=5,n=3

y(3)=(52x5)(3)=2352x5ln35
y(3)=2352x5ln35=825x3125ln35

Формула дифференциала 3 порядка имеет вид:

d(3)y=y(3)(x)dx3
d(3)y=825x3125ln35dx3
Дата последнего обновления статьи: 15.12.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Дифференциалы высших порядков"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant