Что такое дифференциал функции
Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной.
Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:
$dy = f '(x) \Delta $х
Пусть дана функция y = f(x), где х - независимая переменная. Дифференциал этой функции есть некоторая функция от х но от х зависит только первый сомножитель f '(x) второй же сомножитель dx является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит.
dy = f '(x)dx
Функция dy есть функция от x и называется дифференциалом.
Что такое второй, третий дифференциал
Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y.
$d^2y = d(dy)$
Третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:
$d^3y = d(d2y) = f '''(x)dx^3$
Дифференциалом n-го порядка является дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка:
$d^ny = d(d^{n-1}y)$
Пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:
\[f'(x)=\frac{dx}{dy} \] \[f^{n} (x)=\frac{d^{n} y}{dx^{n} } \]Найти дифференциал функции.
\[d(2x^{3} +1)\]Решение.
По правилу дифференцирования, дифференциал суммы равен сумме дифференциалов функций.
\[d(2x^{3} +1)=d(2x^{3} )+d(1)\]Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала. Производная второй функции так же как и дифференциал равна 0.
\[d(2x^{3} +1)=6x^{2} dx\]Найти дифференциал второго порядка функции.
\[y(x)=x^{3} -\arccos x\]Решение.
- По определению дифференциала, дифференциал второго порядка равен: \[d^{2} y=y''(x)dx^{2} \]
- Продифференцируем данную функцию по х: \[y'(x)=(x^{3} -\arccos x)'=(x^{3} )'-(\arccos x)'=3x^{2} +\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } \]
- Вычислим вторую производную \[y''(x)=\left(3x^{2} +\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } \right)^{{'} } =6x+\left((1-x^{2} )^{-\frac{1}{2} } \right)^{{'} } =6x-\frac{1}{2} (1-x^{2} )^{-\frac{3}{2} } (1-x^{2} )'\] \[y''(x)=6x+x(1-x^{2} )^{-\frac{3}{2} } \]
- Подставим полученную производную в формулу дифференциала второго порядка: \[d^{2} y=y''(x)dx^{2} =\left(6x+x(1-x^{2} )^{-\frac{3}{2} } \right)dx^{2} =\left(6x+\frac{x}{\sqrt[{}]{(1-x^{2} )^{3} } } \right)dx^{2} \]
Найти дифференциал второго порядка функции заданной неявно.
\[xy-y^{2} =3\]Решение.
- Перенесем все члены функции в одну сторону \[xy-y^{2} -3=0\]
- Найдем первый дифференциал dy \[d\left(xy-y^{2} \right)-d\left(3\right)=0\]
- Дифференциал разности равен разности дифференциалов \[d\left(xy\right)-d\left(y^{2} \right)-d\left(3\right)=0\]
- Распишем дифференциал произведения и вычислим \[d\left(x\right)\cdot y+xdy-d\left(y^{2} \right)-d\left(3\right)=0\] \[ydx+xdy-2ydy-0=0\]
- Выразим dy \[dy\left(x-2y\right)=-ydx\] \[dy=-\frac{ydx}{x-2y} \]
- Вычислим дифференциал второго порядка по свойству частного: \[d^{2} y=d(dy)=d\left(-\frac{ydx}{x-2y} \right)\] \[d^{2} y=d\left(-\frac{y}{x-2y} \right)dx=\frac{d(-y)(x-2y)-(-y)\cdot d(x-2y)}{\left(x-2y\right)^{2} } dx\] \[d^{2} y=\frac{-dy(x-2y)+y\cdot d(x)-2dy}{\left(x-2y\right)^{2} } dx\]
- Выполним замену dy \[d^{2} y=\frac{-\frac{-ydx\left(x-2y\right)}{x-2y} +ydx-2ydy}{\left(x-2y\right)^{2} } dx\] \[d^{2} y=\frac{ydx+ydx-2ydy}{\left(x-2y\right)^{2} } dx=\frac{2ydx-2y\left(-\frac{ydx}{x-2y} \right)}{\left(x-2y\right)^{2} } dx\] \[d^{2} y=\frac{2ydx+\frac{2y^{2} }{x-2y} }{\left(x-2y\right)^{2} } dx=\frac{2ydx+2y^{2} }{\left(x-2y\right)^{3} } dx\] \[d^{2} y=\frac{2y(x+2y)+2y^{2} }{\left(x-2y\right)^{3} } dx^{2} =\frac{2xy+4y^{2} +2y^{2} }{\left(x-2y\right)^{3} } dx^{2} =\frac{2xy+6y^{2} }{\left(x-2y\right)^{3} } dx^{2} \] \[d^{2} y=\frac{2y\left(x+3y\right)dx^{2} }{\left(x-2y\right)^{3} } \]
