Общая часть
В общем виде дифференциальные уравнения (сокращённо будем записывать как «ДУ») первого порядка имеют форму $P(x, y) + Q(x,y) \cdot y’=0\left(1\right)$, здесь и дальше $P(x, y)$ и $Q(x, y)$ — некоторые многочлены.
Помня о том, что $y’= \frac{dy}{dx}$ и произведя замену этого значения в уравнении $(1)$, получим, что оно приобретает форму $P(x, y)dx + Q(x, y) dy = 0$.
Если оба члена $P$ и $Q$ зависят только от одной различной для них переменной — то речь идёт об ДУ первого порядка с так называемыми разделёнными переменными, его вид — $P(x)dx + Q(y)dy = 0 \left(2\right)$.
Для решения ДУ такого вида проводят отдельно интегрирование каждого члена $P(x)$ и $Q(x)$ по соответствующей им переменной. Перед этим многочлены уравнения, зависящие от разных переменных, могут разнести по разным частям уравнения:
$\int Q(y)dy = -\int P(x) dx + C \left(3\right)$ — найдя интегралы в этом уравнении и выразив при необходимости $y$ получаем общее решение.
Если нужно решение в некоторой конкретной начальной точке с координатами $(x_0;y_0)$ — то тогда интегралы приобретают такой вид:
$\int \limits_{y_0}^y Q(y)dy = -\int \limits_{x_0}^x P(x) dx + C$, представляющий собой частное решение.
Примеры решения
Решите пример: $\cos x \cdot dx – 4y \cdot dy = 0$, таже найдите частное решение при $x=0; y=4$.
Перенесём часть с игреком вправо:
$\cos x \cdot dx = 4y \cdot dy$;
Проинтегрируем обе части, левую по $x$, правую — по $y$:
$\int \cos x \cdot dx = \int 4y \cdot dy$;
$\sin x = \frac{4}{2}y^2 + C$ — такая форма уравнения называется общим интегралом.
Константу $C$ можно записать только один раз, так как получающиеся постоянные при интегрировании левой и правой части по отдельности при сложении также дают некоторую константу.
Выразим $y$:
$y=±\sqrt{\frac{\sin x + C}{2}}$.
Теперь подставим заданные значения (поиск решения, соответствующего некоторым начальным условиям, называется задачей Коши):
$4=\sqrt{\frac{\sin 0 + C}{2}}$;
$4=\sqrt{ \frac{C}{2}}$;
$16 = \frac{C}{2}$
$C=32$.
Подставим это значение в уравнение и получим:
$y=±\sqrt{\frac{\sin x + 1}{2}}$.
Найдите общее решение для уравнения $4x \cdot dx - y \cdot dy=0$.
Перенесём часть с игреком вправо и проинтегрируем:
$4\int x \cdot dx = \int y \cdot dy$;
$\frac{4}{2} x^2 + C = \frac{1}{2} y^2$;
$C+2x^2 = \frac{y^2}{2}$;
$2C + 4x^2 = y^2$ — общий интеграл;
Выразим игрек:
$y = ± \sqrt{4x^2 + 2C}$.
ДУ, которые первоначально не выглядят как уравнения с разделёнными переменными
Существуют некоторые диф. уравнения, которые первоначально не выглядят как уравнения с разделёнными переменными, обычно для этих уравнений характерно то, что $P$ и $Q$ можно представить в следующем виде: $P(x, y)=P_1(x)P_2(y)$ и $Q(x, y)=Q_1(x)Q_2(y)$.
В этом случае можно применить метод разделения переменных, для этого уравнение $P_1(x)P_2(y)dx + Q_1(x)Q_2(y)dy = 0 \left(4\right)$ делим на $P_2(y)Q_1(x)$ и получаем
$\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}dx + \frac{Q_2(y)}{P_2(y)}dy=0 \left(5\right)$.
Данная форма также представляет из себя обыкновенное ДУ с разделёнными переменными.
Теперь от теории к практике.
Примеры решения
Решите уравнение $y \cdot \sin \frac{x}{2} dx - \cos \frac{x}{2}dy = 0$
Это уравнение имеет форму $(4)$, а значит, мы можем разделить переменные. Здесь $P_1(x)= \sin{x}{2}, P_2(y)= y$, а $Q_1(x) = \cos \frac{x}{2}; Q_2(y)=1$. Это значит, что для разделения нужно разделить всё уравнение на $y \cdot \cos \frac{x}{2}$:
$\frac{dy}{y}=\frac{\sin \frac{x}{2}} {\cos \frac{x}{2}} dx$
Мы получили форму $(5)$, теперь проинтегрируем полученное:
$ \ln y = - 2 \ln \cdot \cos \frac{x}{2} + \ln с$;
$ \ln y = ln \frac{1}{\cos \frac{x}{2}} + c$;
Упростим, используя формулу половинного угла, напомним её, $\cos^2 x \frac{α}{2} = \frac{1+ \cos α}{2}$:
$\ln y = \ln\frac{2}{1 + \cos x}+ c$
Избавимся от логарифма:
$y = \frac{2e^{c}}{(1+ \cos x)}$
Значение $2e^{c}$ является константой, поэтому заменим его просто буквой $C$:
$y=\frac{C}{1+ \cos x}$.
Особыми решениями в этом случае будут решения, проистекающие из равенства $y \cdot \cos \frac{x}{2}=0$, то есть $y=0$ и $x=\frac{π}{2}$.
Решите уравнение:
$(y+xy) \cdot dx + (x – xy) \cdot dy = 0$.
Для решения данного уравнения используем метод разделения переменных, для этого в первом и втором слагаемом вынесем $y$ и $x$ за скобки:
$y(1 + x) \cdot dx + x(1-y) \cdot dy = 0$;
Здесь в качестве $P_1(x)=1+x, P_2(y) = y$, а для второго многочлена — $Q_1(x)=x; Q_2(y)=1-y$.
Соответственно, разделить нужно на $P_2(y) \cdot Q_1(x) = x \cdot y$, принимаем во внимание, что произведение этих множителей не равно нулю:
$\frac{1+x}{x} dx + \frac{1-y}{y} dy = 0$;
Проинтегрируем:
$x + |\ln x| + |\ln y| - y = C$;
или $\ln |xy|+ x – y = C$ — общее решение (интеграл) уравнения.
Также для данного интеграла существуют особые решения, которые не входят в общий интеграл и вытекающие из множителя, на который мы делили уравнение для его разделения.
Выглядят эти решения так: $x \cdot y=0$, а решения, проистекающие из него — $x=0; y=0$.
