Вспомним в начале, что такое векторное произведение.
Векторным произведением для $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является $\vec{c}$, представляющий собой некоторый третий вектор $\vec{c}= |[ab]|$, причём этот вектор обладает особенными свойствами:
- Cкаляр полученного вектора — произведение $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ на синус угла $\vec{c}= |[ab]|= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\cdot \sin α \left(1\right)$;
- Все $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ образуют правую тройку;
- Полученный вектор ортогонален к $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Если для векторов присутствуют некоторые координаты ($\vec{a}=\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}= \{x_2; y_2; z_2\}$), то их векторное произведение в декартовой системе координат можно определить по формуле:
$[a \times b] = \{y_1 \cdot z_2 – y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 – z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1\}$
Легче всего запомнить эту формулу записав в форме определителя:
$[ab] = \begin{array} {|ccc|} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{array}$.
Эта формула весьма удобна для использования, но чтобы понимать, как её использовать, для начала следует ознакомиться с темой матриц и их определителей.
Площадь параллелограмма, стороны которого определяются двумя векторами $\vec{a}$ и $vec{b}$ равна скаляру векторного произведения данных двух векторов.
Это соотношение совсем несложно вывести.
Вспомним формулу для нахождения площади обычного параллелограмма, который можно охарактеризовать образующими его отрезками $a$ и $b$:
$S = a \cdot b \cdot \sin α$
При этом длины сторон равны скалярным значениям векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, что вполне себе подходит нам, то есть, скаляр векторного произведения данных векторов и будет площадью рассматриваемой фигуры.
Даны векторы $\vec{c}$ c координатами $\{5;3; 7\}$ и вектор $\vec{g}$ с координатами $\{3; 7;10 \}$ в декартовой системе координат. Найти, чему равна площадь параллелограмма, образованного $\vec{c}$ и $\vec{g}$.
Решение:
Отыщем векторное произведение для этих векторов:
$[c \times g] = \begin{array} {|ccc|} i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end{array}= i \cdot \begin{array} {|cc|} 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end{array} - j \cdot \begin{array} {|cc|} 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end{array} + k \cdot \begin{array} {|cc|} 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end{array} = i \cdot (3 \cdot 10 – 49) – j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\{- 19; 29; 26\}$.
Теперь найдём модульное значение для полученного направленного отрезка, оно и является значением площади построенного параллелограмма:
$S= \sqrt{|19|^2 + |29|^2 + |26|^2} = \sqrt{1878} ≈ 43, 34$.
Данный ход рассуждений справедлив не только для нахождения площади в 3-хмерном пространстве, но и для двухмерного. Познакомьтесь со следующей задачкой на эту тему.
Вычислить площадь параллелограмма, если его образующие отрезки задаются векторами $\vec{m}$ с координатами $\{2; 3\}$ и $\vec{d}$ с координатами $\{-5; 6\}$.
Решение:
Эта задача представляет собой частный пример задачки 1, решённой выше, но при этом оба вектора лежат в одной плоскости, а это значит, что третью координату, $z$, можно принять за нуль.
Подведём итоги по всему вышесказанному, площадь параллелограмма составит:
$S = \begin{array} {||cc||} 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end{array} = \sqrt{12 + 15} =3 \sqrt3$.
Даны векторы $\vec{a} = 3i – j + k; \vec{b}= 5i$. Определите площадь образуемого ими параллелограмма.
$[ \vec{a} \times \vec{b}] = (3i – j + k) \times 5i = 15 [i \times i] – 5 [j \times i] + [5k\times i]$
Упростим согласно приведённой таблице для единичных векторов:
Рисунок 1. Разложение вектора по базису. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$[ \vec{a} \times \vec{b}] = 5 k + 5 j$.
Время подсчётов:
$S = \sqrt{|-5|^2 + |5|^2} = 5\sqrt{2}$.
Предыдущие задачи были о векторах, координаты которых заданы в декартовой системе координат, но рассмотрим также случай, если угол между базисными векторами отличается от $90°$:
Вектор $\vec{d} = 2a + 3b$, $\vec{f}= a – 4b$, длины $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны между собой и равны единице, а угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 45°.
Решение:
Вычислим векторное произведение $\vec{d} \times \vec{f}$:
$[\vec{d} \times \vec{f} ]= (2a + 3b) \times ( a – 4b) = 2 [a \times a] – 8 [a \times b] + 3 [b \times a] – 12 [b \times b]$.
Для векторных произведений согласно их свойствам справедливо следующее: $[a \times a]$ и $[b \times b]$ равны нулю, $[b \times a] = - [a \times b]$.
Используем это для упрощения:
$[\vec{d} \times \vec{f} ]= -8[a \times b] + 3 [b \times a] = -8[a \times b] - 3[a \times b] =-11[a \times b]$.
Теперь воспользуемся формулой $(1)$ :
$[\vec{d} \times \vec{f} ] = |-11 [a \times b]| = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5$.
