Вспомним в начале, что такое векторное произведение.
Векторным произведением для →a и →b является →c, представляющий собой некоторый третий вектор →c=|[ab]|, причём этот вектор обладает особенными свойствами:
- Cкаляр полученного вектора — произведение |→a| и |→b| на синус угла →c=|[ab]|=|→a|⋅|→b|⋅sinα(1);
- Все →a,→b и →c образуют правую тройку;
- Полученный вектор ортогонален к →a и →b.
Если для векторов присутствуют некоторые координаты (→a={x1;y1;z1} и →b={x2;y2;z2}), то их векторное произведение в декартовой системе координат можно определить по формуле:
[a×b]={y1⋅z2–y2⋅z1;z1⋅x2–z2⋅x1;x2⋅y2–x2⋅y1}
Легче всего запомнить эту формулу записав в форме определителя:
[ab]=ijkx1y1z1x2y2z2.
Эта формула весьма удобна для использования, но чтобы понимать, как её использовать, для начала следует ознакомиться с темой матриц и их определителей.
Площадь параллелограмма, стороны которого определяются двумя векторами →a и vecb равна скаляру векторного произведения данных двух векторов.
Это соотношение совсем несложно вывести.
Вспомним формулу для нахождения площади обычного параллелограмма, который можно охарактеризовать образующими его отрезками a и b:
S=a⋅b⋅sinα
При этом длины сторон равны скалярным значениям векторов →a и →b, что вполне себе подходит нам, то есть, скаляр векторного произведения данных векторов и будет площадью рассматриваемой фигуры.
Даны векторы →c c координатами {5;3;7} и вектор →g с координатами {3;7;10} в декартовой системе координат. Найти, чему равна площадь параллелограмма, образованного →c и →g.
Решение:
Отыщем векторное произведение для этих векторов:
[c×g]=ijk5373710=i⋅37710−j⋅57310+k⋅5337=i⋅(3⋅10–49)–j⋅(50−21)+k⋅(35−9)=−19i−29j+26k={−19;29;26}.
Теперь найдём модульное значение для полученного направленного отрезка, оно и является значением площади построенного параллелограмма:
S=√|19|2+|29|2+|26|2=√1878≈43,34.
Данный ход рассуждений справедлив не только для нахождения площади в 3-хмерном пространстве, но и для двухмерного. Познакомьтесь со следующей задачкой на эту тему.
Вычислить площадь параллелограмма, если его образующие отрезки задаются векторами →m с координатами {2;3} и →d с координатами {−5;6}.
Решение:
Эта задача представляет собой частный пример задачки 1, решённой выше, но при этом оба вектора лежат в одной плоскости, а это значит, что третью координату, z, можно принять за нуль.
Подведём итоги по всему вышесказанному, площадь параллелограмма составит:
S=23−56=√12+15=3√3.
Даны векторы →a=3i–j+k;→b=5i. Определите площадь образуемого ими параллелограмма.
[→a×→b]=(3i–j+k)×5i=15[i×i]–5[j×i]+[5k×i]
Упростим согласно приведённой таблице для единичных векторов:
Рисунок 1. Разложение вектора по базису. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
[→a×→b]=5k+5j.
Время подсчётов:
S=√|−5|2+|5|2=5√2.
Предыдущие задачи были о векторах, координаты которых заданы в декартовой системе координат, но рассмотрим также случай, если угол между базисными векторами отличается от 90°:
Вектор →d=2a+3b, →f=a–4b, длины →a и →b равны между собой и равны единице, а угол между →a и →b равен 45°.
Решение:
Вычислим векторное произведение →d×→f:
[→d×→f]=(2a+3b)×(a–4b)=2[a×a]–8[a×b]+3[b×a]–12[b×b].
Для векторных произведений согласно их свойствам справедливо следующее: [a×a] и [b×b] равны нулю, [b×a]=−[a×b].
Используем это для упрощения:
[→d×→f]=−8[a×b]+3[b×a]=−8[a×b]−3[a×b]=−11[a×b].
Теперь воспользуемся формулой (1) :
[→d×→f]=|−11[a×b]|=11⋅|a|⋅|b|⋅sinα=11⋅1⋅1⋅12=5,5.
