Точкой разрыва функции называется такая точка а, в которой функция не является непрерывной.
На рисунке 1 изображена непрерывная функция, а на рисунке 2 -- функция, имеющая разрыв в точке а.
Рисунок 1. Непрерывная функция
Рисунок 2. Точка разрыва функции
Таким образом, условие непрерывности не должно выполняться:
limx→af(x)≠f(a)Данное условие справедливо для устранимой точки разрыва
Определить точку разрыва функции
f(x)=sinxxРешение:
- Найдем область определения данной функции: D(f)=(−∞;0)∪(0;+∞)
- Из области определения видно, что в точке х = 0 функция не определена f(x)=sinxx=1≠f(0)=sinxx
Вывод: Функция имеет устранимую точку разрыва x = 0
Точка а = х называется неустранимой точкой разрыва первого рода (рис.3), если выполняется условие:
limx→a−0f(x)≠limx→a+0f(x)≠f(a)
Рисунок 3.Точка разрыва первого рода
Определить разрыв функции
f(x)={x,x≤1lnx,x>1Решение:
limx→1+0f(x)=limx→1+0lnx=0Вывод: В точке 1 функция имеет разрыв первого рода.
Точка а = х называется неустранимой точкой разрыва второго рода (рис.4), если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Рисунок 4.Точка разрыва второго рода
Определить вид точки разрыва
f(x)=tgxРешение:
limx→π2+πk+0tgx=−∞Вывод: Точка π2+πk - точка разрыва второго рода
