С алгебраическими дробями можно проводить любые математические операции, такие как сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.
Умножение алгебраических дробей
Алгебраические дроби умножают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби
т.е. при умножении алгебраических дробей необходимо умножить числители исходных дробей и знаменатели исходных дробей
Найти произведение $\frac{17b^2}{a}\cdot \frac{2\ d}{c}$
Для нахождения произведения воспользуемся правилом умножения дробей, тогда получим
\[\frac{17b^2}{a}\cdot \frac{2d}{c}=\frac{17b^2\cdot 2d}{a\cdot c}=\frac{34b^2d}{ac}\]Найти произведение двух дробей $\frac{4ab}{cx+dx}\cdot \frac{ax+bx}{2ab}$
Для нахождения произведения воспользуемся правилом умножения дробей, тогда получим
\[\frac{4ab}{cx+dx}\cdot \frac{ax+bx}{2ab}=\frac{4ab\cdot (ax+bx)}{\left(cx+dx\right)\cdot 2ab}\]Заметим, что многочлены, стоящие в скобках, можно разложить на множители путем вынесения общего множителя, который в данном случае будет являться переменной $x$.
\[\frac{4ab}{cx+dx}\cdot \frac{ax+bx}{2ab}=\frac{4ab\cdot \left(ax+bx\right)}{\left(cx+dx\right)\cdot 2ab}=\frac{4ab\cdot x\cdot (a+b)}{2ab\cdot x\cdot (c+d)}\]После подобного преобразования можно отметить, что, воспользовавшись основным свойством дроби, полученную можно сократить на одинаковые множители, входящие в состав числителя и знаменателя: $\ 2abx$.
\[\frac{4ab}{cx+dx}\cdot \frac{ax+bx}{2ab}=\frac{4ab\cdot \left(ax+bx\right)}{\left(cx+dx\right)\cdot 2ab}=\frac{4ab\cdot x\cdot \left(a+b\right)}{2ab\cdot x\cdot \left(c+d\right)}=\frac{2(a+b)}{c+d}\]Деление алгебраических дробей
Алгебраические дроби делят по тому же правилу, что и обыкновенные дроби
т.е. при делении алгебраических дробей необходимо первую дробь оставить без изменений, деление заменить на умножение, а вторую дробь изменить на обратную, затем произвести умножение полученных дробей
Найти частное двух дробей $\frac{16}{x-4}:\frac{x^2}{x^2-16}$
Воспользуемся правилом, тогда получим
\[\frac{16}{x-4}:\frac{x^2}{x^2-16}=\ \frac{16}{x-4}\cdot \frac{x^2-16}{x^2}=\frac{16\cdot (x^2-16)}{x^2\cdot x-4)}\]Далее заметим, что полученную дробь можно сократить, но для этого сначала необходимо разложить многочлен, стоящий в скобках в числителе, на множители. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов, обратив внимание на то, что $16=4^2$, значит, указанную формулу сокращенного умножения можно применять для того, чтобы разложить выражение, стоящее в числителе на множители.
Применив данную формулу, получим:
\[x^2-16=(x-4)(x+4).\]Тогда дробь примет вид
\[\frac{16}{x-4}:\frac{x^2}{x^2-16}=\frac{16\cdot (x^2-16)}{x^2\cdot (x-4)}=\frac{16\cdot (x-4)(x+4)}{x^2\cdot (x-4)}\]Теперь заметим, что числитель и знаменатель дроби содержит одинаковое выражение х-4, на которое можно сократить дробь
\[\frac{16}{x-4}:\frac{x^2}{x^2-16}=\frac{16\cdot (x^2-16)}{x^2\cdot (x-4)}=\frac{16\cdot (x-4)(x+4)}{x^2\cdot (x-4)}=\frac{16\cdot (x+4)}{x^2}\]Возведение в степень алгебраических дробей
Алгебраические дроби возводят в степень по тому же правилу, что и обыкновенные дроби
т.е. при возведении алгебраических дробей в степень необходимо числитель возвести в указанную степень и знаменатель возвести в степень.
Выполнить действия $({\frac{m^4}{n^{-1}a^{-2}})}^4$
Сначала воспользуемся правилом возведения дроби в степень, т.е. необходимо числитель возвести в указанную степень и знаменатель возвести в степень
\[({\frac{m^4}{n^{-1}a^{-2}})}^4=\frac{{{(m}^4)}^4}{{\left(n^{-1}a^{-2}\right)}^4}\]Теперь воспользуемся правилом возведения степени в степень в числителе
\[{{(m}^4)}^4=m^{16}\]В знаменателе воспользуемся правилом возведения в степень произведения
\[{\left(n^{-1}a^{-2}\right)}^4=n^{-4}a^{-8}\]А теперь преобразуем по свойству возведения в отрицательный показатель степени:
\[{\ \left(n^{-1}a^{-2}\right)}^4=n^{-4}a^{-8}=\frac{1}{n^4}\cdot \frac{1}{a^8}=\frac{1}{n^4a^8}\]Тогда исходная дробь примет вид
\[({\frac{m^4}{n^{-1}a^{-2}})}^4=\frac{m^{16}}{\frac{1}{n^4a^8}}=m^{16}:\frac{1}{n^4a^8}=m^{16}n^4a^8\]Выполнить действия $({\frac{x+2}{3x-3})}^3:({\frac{x+2}{x-1})}^2$
Сначала преобразуем знаменатель первой дроби посредством разложения на множители и вынесения общего множителя за скобки: $3x-3=3(x-1).$
Теперь воспользуемся правилом возведения в степень дроби, тогда получим:
\[{\frac{(x+2)}{{(3(x-1))}^3}}^3:{\frac{(x+2)}{{(x-1)}^2}}^2\]Заметим, что в знаменателе первой дроби находится произведение, которое мы возводим в степень. Вспомним, что для этого необходимо каждый множитель возвести в степень: $\ {(3(x-1))}^3=27{(x-1)}^3$
Теперь применим правило деления дробей:${\frac{(x+2)}{{(3(x-1))}^3}}^3:{\frac{(x+2)}{{(x-1)}^2}}^2=\frac{{(x+2)}^3}{{27(x-1)}^3}\cdot \frac{{\left(x-1\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{{(x+2)}^3\cdot {\left(x-1\right)}^2}{{27(x-1)}^3\cdot {\left(x+2\right)}^2}$
Заметим, что в числителе и знаменателе есть общие множители:$\ {\left(x+2\right)}^2$ и ${\left(x-1\right)}^2$, воспользуемся основным свойством дроби и сократим на них:
\[\frac{{(x+2)}^3}{{27(x-1)}^3}\cdot \frac{{\left(x-1\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{{\left(x+2\right)}^3\cdot {\left(x-1\right)}^2}{{27\left(x-1\right)}^3\cdot {\left(x+2\right)}^2}=\frac{x+2}{27(x-1)}\]
