С алгебраическими дробями можно проводить любые математические операции, такие как сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.
Умножение алгебраических дробей
Алгебраические дроби умножают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби
т.е. при умножении алгебраических дробей необходимо умножить числители исходных дробей и знаменатели исходных дробей
Найти произведение 17b2a⋅2 dc
Для нахождения произведения воспользуемся правилом умножения дробей, тогда получим
17b2a⋅2dc=17b2⋅2da⋅c=34b2dacНайти произведение двух дробей 4abcx+dx⋅ax+bx2ab
Для нахождения произведения воспользуемся правилом умножения дробей, тогда получим
4abcx+dx⋅ax+bx2ab=4ab⋅(ax+bx)(cx+dx)⋅2abЗаметим, что многочлены, стоящие в скобках, можно разложить на множители путем вынесения общего множителя, который в данном случае будет являться переменной x.
4abcx+dx⋅ax+bx2ab=4ab⋅(ax+bx)(cx+dx)⋅2ab=4ab⋅x⋅(a+b)2ab⋅x⋅(c+d)После подобного преобразования можно отметить, что, воспользовавшись основным свойством дроби, полученную можно сократить на одинаковые множители, входящие в состав числителя и знаменателя: 2abx.
4abcx+dx⋅ax+bx2ab=4ab⋅(ax+bx)(cx+dx)⋅2ab=4ab⋅x⋅(a+b)2ab⋅x⋅(c+d)=2(a+b)c+dДеление алгебраических дробей
Алгебраические дроби делят по тому же правилу, что и обыкновенные дроби
т.е. при делении алгебраических дробей необходимо первую дробь оставить без изменений, деление заменить на умножение, а вторую дробь изменить на обратную, затем произвести умножение полученных дробей
Найти частное двух дробей 16x−4:x2x2−16
Воспользуемся правилом, тогда получим
16x−4:x2x2−16= 16x−4⋅x2−16x2=16⋅(x2−16)x2⋅x−4)Далее заметим, что полученную дробь можно сократить, но для этого сначала необходимо разложить многочлен, стоящий в скобках в числителе, на множители. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов, обратив внимание на то, что 16=42, значит, указанную формулу сокращенного умножения можно применять для того, чтобы разложить выражение, стоящее в числителе на множители.
Применив данную формулу, получим:
x2−16=(x−4)(x+4).Тогда дробь примет вид
16x−4:x2x2−16=16⋅(x2−16)x2⋅(x−4)=16⋅(x−4)(x+4)x2⋅(x−4)Теперь заметим, что числитель и знаменатель дроби содержит одинаковое выражение х-4, на которое можно сократить дробь
16x−4:x2x2−16=16⋅(x2−16)x2⋅(x−4)=16⋅(x−4)(x+4)x2⋅(x−4)=16⋅(x+4)x2Возведение в степень алгебраических дробей
Алгебраические дроби возводят в степень по тому же правилу, что и обыкновенные дроби
т.е. при возведении алгебраических дробей в степень необходимо числитель возвести в указанную степень и знаменатель возвести в степень.
Выполнить действия (m4n−1a−2)4
Сначала воспользуемся правилом возведения дроби в степень, т.е. необходимо числитель возвести в указанную степень и знаменатель возвести в степень
(m4n−1a−2)4=(m4)4(n−1a−2)4Теперь воспользуемся правилом возведения степени в степень в числителе
(m4)4=m16В знаменателе воспользуемся правилом возведения в степень произведения
(n−1a−2)4=n−4a−8А теперь преобразуем по свойству возведения в отрицательный показатель степени:
(n−1a−2)4=n−4a−8=1n4⋅1a8=1n4a8Тогда исходная дробь примет вид
(m4n−1a−2)4=m161n4a8=m16:1n4a8=m16n4a8Выполнить действия (x+23x−3)3:(x+2x−1)2
Сначала преобразуем знаменатель первой дроби посредством разложения на множители и вынесения общего множителя за скобки: 3x−3=3(x−1).
Теперь воспользуемся правилом возведения в степень дроби, тогда получим:
(x+2)(3(x−1))33:(x+2)(x−1)22Заметим, что в знаменателе первой дроби находится произведение, которое мы возводим в степень. Вспомним, что для этого необходимо каждый множитель возвести в степень: (3(x−1))3=27(x−1)3
Теперь применим правило деления дробей:(x+2)(3(x−1))33:(x+2)(x−1)22=(x+2)327(x−1)3⋅(x−1)2(x+2)2=(x+2)3⋅(x−1)227(x−1)3⋅(x+2)2
Заметим, что в числителе и знаменателе есть общие множители: (x+2)2 и (x−1)2, воспользуемся основным свойством дроби и сократим на них:
(x+2)327(x−1)3⋅(x−1)2(x+2)2=(x+2)3⋅(x−1)227(x−1)3⋅(x+2)2=x+227(x−1)