Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Умножение, деление и возведение дробей в степень

С алгебраическими дробями можно проводить любые математические операции, такие как сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.

Умножение алгебраических дробей

Алгебраические дроби умножают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби

т.е. при умножении алгебраических дробей необходимо умножить числители исходных дробей и знаменатели исходных дробей

Пример 1

Найти произведение 17b2a2 dc

Для нахождения произведения воспользуемся правилом умножения дробей, тогда получим

17b2a2dc=17b22dac=34b2dac
Пример 2

Найти произведение двух дробей 4abcx+dxax+bx2ab

Для нахождения произведения воспользуемся правилом умножения дробей, тогда получим

4abcx+dxax+bx2ab=4ab(ax+bx)(cx+dx)2ab

Заметим, что многочлены, стоящие в скобках, можно разложить на множители путем вынесения общего множителя, который в данном случае будет являться переменной x.

4abcx+dxax+bx2ab=4ab(ax+bx)(cx+dx)2ab=4abx(a+b)2abx(c+d)

После подобного преобразования можно отметить, что, воспользовавшись основным свойством дроби, полученную можно сократить на одинаковые множители, входящие в состав числителя и знаменателя:  2abx.

4abcx+dxax+bx2ab=4ab(ax+bx)(cx+dx)2ab=4abx(a+b)2abx(c+d)=2(a+b)c+d

Деление алгебраических дробей

Алгебраические дроби делят по тому же правилу, что и обыкновенные дроби

т.е. при делении алгебраических дробей необходимо первую дробь оставить без изменений, деление заменить на умножение, а вторую дробь изменить на обратную, затем произвести умножение полученных дробей

Пример 3

Найти частное двух дробей 16x4:x2x216

Воспользуемся правилом, тогда получим

16x4:x2x216= 16x4x216x2=16(x216)x2x4)

Далее заметим, что полученную дробь можно сократить, но для этого сначала необходимо разложить многочлен, стоящий в скобках в числителе, на множители. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов, обратив внимание на то, что 16=42, значит, указанную формулу сокращенного умножения можно применять для того, чтобы разложить выражение, стоящее в числителе на множители.

Применив данную формулу, получим:

x216=(x4)(x+4).

Тогда дробь примет вид

16x4:x2x216=16(x216)x2(x4)=16(x4)(x+4)x2(x4)

Теперь заметим, что числитель и знаменатель дроби содержит одинаковое выражение х-4, на которое можно сократить дробь

16x4:x2x216=16(x216)x2(x4)=16(x4)(x+4)x2(x4)=16(x+4)x2
«Умножение, деление и возведение дробей в степень » 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Возведение в степень алгебраических дробей

Алгебраические дроби возводят в степень по тому же правилу, что и обыкновенные дроби

т.е. при возведении алгебраических дробей в степень необходимо числитель возвести в указанную степень и знаменатель возвести в степень.

Пример 4

Выполнить действия (m4n1a2)4

Сначала воспользуемся правилом возведения дроби в степень, т.е. необходимо числитель возвести в указанную степень и знаменатель возвести в степень

(m4n1a2)4=(m4)4(n1a2)4

Теперь воспользуемся правилом возведения степени в степень в числителе

(m4)4=m16

В знаменателе воспользуемся правилом возведения в степень произведения

(n1a2)4=n4a8

А теперь преобразуем по свойству возведения в отрицательный показатель степени:

 (n1a2)4=n4a8=1n41a8=1n4a8

Тогда исходная дробь примет вид

(m4n1a2)4=m161n4a8=m16:1n4a8=m16n4a8
Пример 5

Выполнить действия (x+23x3)3:(x+2x1)2

Сначала преобразуем знаменатель первой дроби посредством разложения на множители и вынесения общего множителя за скобки: 3x3=3(x1).

Теперь воспользуемся правилом возведения в степень дроби, тогда получим:

(x+2)(3(x1))33:(x+2)(x1)22

Заметим, что в знаменателе первой дроби находится произведение, которое мы возводим в степень. Вспомним, что для этого необходимо каждый множитель возвести в степень:  (3(x1))3=27(x1)3

Теперь применим правило деления дробей:(x+2)(3(x1))33:(x+2)(x1)22=(x+2)327(x1)3(x1)2(x+2)2=(x+2)3(x1)227(x1)3(x+2)2

Заметим, что в числителе и знаменателе есть общие множители: (x+2)2 и (x1)2, воспользуемся основным свойством дроби и сократим на них:

(x+2)327(x1)3(x1)2(x+2)2=(x+2)3(x1)227(x1)3(x+2)2=x+227(x1)
Дата последнего обновления статьи: 29.04.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot