Показательное распределение

Случайная величина $X$ подчиняется экспоненциальному закону распределения. На участке области определения $\left[0,\infty )\right.$ случайная величина $X$ имеет плотность вида $\varphi \left(x\right)=\alpha e^{-3x}$.

1. Найти плотность распределения и построить её график.

2. Найти функцию распределения и построить её график.

3. Найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал $(0,2;;0,4)$.

4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данного распределения.

Решение:

1. Так как случайная величина подчиняется показательному закону распределения, то $\alpha =3.$ Таким образом, плотность данного распределения будет иметь вид:

Рисунок 5.

Построим её график. Максимальное значения функция плотности распределения достигнет в точке $\left(0,\gamma \right)=(0,3)$

Рисунок 6.

1. Так как $\gamma =3$, то по формуле функции показательного распределения, функция распределения в нашем случае будет иметь вид:

Рисунок 7.

При $x=1,\ F\left(1\right)=1-e^{-3}=1-0,05=0,95$, получаем график

Рисунок 8.

1. Для нахождения искомой вероятности будем пользоваться следующей формулой:

\[P\left(\alpha Получим: \[P\left(0,2Для нахождения значений функции $y=e^{-x}$ существуют специальные таблицы, из них легко находим, что $e^{-0,6}=0,549,\ e^{-1,2}=0,302$. Значит: \[P\left(0,2

Для нахождения характеристик воспользуемся выше данными формулами:

$$M\left(X\right)=\sigma \left(X\right)=\frac{1}{\gamma }=\frac{1}{3}.$$ $$D\left(X\right)=\frac{1}{{\gamma }^2}=\frac{1}{9}.$$