Необходимые сведения для решения логарифмических неравенств
Вспомним, для начала, определения понятия логарифм.
Логарифмом числа $b\in R$ по основанию $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) называется число $c$, в которое нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.
Обозначение: ${{log}_a b\ }$.
Неравенство, в котором неизвестные и выражения с ними находятся под знаком логарифма (в основании или нет) называется логарифмическим.
Для решения логарифмических неравенств для начала вспомним свойства логарифмов.
Свойства логарифмов
$a^{{{log}_a b\ }}=b$;
${{log}_a a^c\ }=c$.
${{log}_a xy\ }={{log}_a x\ }+{{log}_a y\ }$
${{log}_a b^c\ }=c{{log}_a b\ }$
${{log}_a \frac{1}{b}\ }=-{{log}_a b\ }$
${{log}_a \frac{x}{y}\ }={{log}_a x\ }-{{log}_a y\ }$
${{log}_b c\ }=\frac{{{log}_a c\ }}{{{log}_a b\ }}$
${{log}_a b\ }=\frac{1}{{log}_ba}$
${{log}_{a^n} b\ }=\frac{1}{n}{{log}_a b\ }$
Сразу из определения можно выделить области определения для логарифмов.
Если в уравнение неизвестная величина $x$ входит в виде ${{log}_a x\ }$, то $x>0$.
Если в уравнение неизвестная величина $x$ входит в виде ${{log}_x b\ }$, то $x>0$ и $x\ne 1$.
Решение логарифмических неравенств
Решение логарифмических неравенств будем рассматривать на примерах.
Решить неравенство ${{log}_2 x\ } >3$.
Решение.
Для решения данного неравенства вспомним следующую теорему:
Теорема 1: Неравенство $\log _{a} f(x) >b,$ где $a >0,a\ne 1$. равносильно совокупности двух систем
\[\left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {a >1,} \\ {f(x) >a^{b} ;} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {0По теореме 1, получим \[x >2^3\] \[x >8\]Ответ: $(8,+\infty )$.
Решить неравенство ${{log}_{\frac{3}{4}} x\ }
Решение.
Для решения данного неравенства вспомним следующую теорему:
Теорема 2: Неравенство $\log _{a} f(x)0,a\ne 1$. равносильно совокупности двух систем
\[\left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {a>1,} \\ {f(x)a^{b} } \end{array}\right. } \end{array}\right. \]По теореме 2, получим
\[x >{\left(\frac{3}{4}\right)}^2\] \[x >\frac{9}{16}\]Ответ: $\left(\frac{9}{16},+\infty \right)$.
Решить неравенство ${{log}_3 (x^2-x)\ }>{{log}_3 (3x-4)\ }$.
Решение.
Для решения данного неравенства вспомним следующую теорему:
Теорема 3: Неравенство $\log _{a} f(x)>\log _{a} \varphi (x)$, где $a>0,a\ne 1$ равносильно совокупности двух систем
\[\left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {a >1,} \\ {f(x) >\varphi (x);} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {0По теореме 3, получим: \[x^2-x >3x-4\] \[x^2-4x+4 >0\] \[ >0\]Так как ${(x-2)}^2=0$ при $x=2$, то
Ответ: $\left(-\infty ,2\right)(2,+\infty )$.
Решить ${{log}_x \left(x+4\right)\ }+{{log}_x 3\ } >{{log}_x (2-2x)\ }$
Решение.
Используя свойство логарифма произведения, получим
\[{{log}_x (3\left(x+4\right)\ }) >lg(2-2x)\] \[{{log}_x \left(3x+12\right)\ } >lg(2-2x)\]Для решения данного неравенства воспользуемся теоремой
Теорема 4: Неравенство $\log _{g(x)} f(x) >\log _{g(x)} \varphi (x)$ равносильно совокупности систем
\[\left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {g(x) >1,} \\ {f(x) >\varphi (x);} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {0По теореме 4, получим \[\left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} {x >1,} \\ {3x+12 >2-2x,} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} {01,} \\ {5x >-10,} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} {01,} \\ {x >-2,} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} {0Ответ: $(1,+\infty )$.
