Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Будем рассматривать прямоугольный треугольник $ABC$ c прямым углом $C$ (рис. 1).

треугольник">

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник

Будем рассматривать угол $A$. Тогда катет $BC$ будет называться противолежащим катетом, а катет $AC$ прилежащим к углу $A$.

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Введем определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

То есть, имеем:

Из формул (1) и (2) очевидно, что

Проверим теперь следующее тождество:

Подставим формулы (1) и (2), получим

Из теоремы Пифагора мы знаем, что ${BC}^2+{AC}^2={AB}^2$, следовательно

Тождество (5) называется основным тригонометрическим тождеством.

Основные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника

Вычислим значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для ${30}^{{}^\circ },\ {45}^{{}^\circ }$ и ${60}^{{}^\circ }$. Для этого вспомним следующую теорему.

Пусть для начала у нас $\angle A={30}^{{}^\circ }$. Так как треугольник прямоугольный, то $\angle B={60}^{{}^\circ }$.

По теореме 1, имеем $AB=2BC$.

Используя основное тригонометрическое тождество (5), получим:

Теперь нетрудно найти тангенсы и котангенсы этих углов.

Пусть теперь $\angle A={45}^{{}^\circ }$. Тогда $\angle B={45}^{{}^\circ }$, то есть прямоугольный треугольник -- равнобедренный. По теореме Пифагора ${BC}^2+{AC}^2={AB}^2$, следовательно, ${AB}^2={2BC}^2=2{AC}^2$, то есть

Тогда

Сведем все полученные данные в таблицу (таблица 1).

Рисунок 2. Основные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Пример задачи на нахождение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.