Понятие корня
Тема о подкоренных выражениях относится к курсу алгебры. Будем считать, что понятие степени читателю уже известно. Понятие корня актуально, когда речь идёт примерах с иррациональными числами. Такие примеры встречаются и в курсе геометрии и даже могут описывать длины. Но перейдём к определениям.
Решение подкоренных выражений строится на знании и применении свойств корня. Для начала, приведём определение корня.
Корень $n$-ой степени из числа $a$, то есть $\sqrt[n]a$ - это число, которое будучи возведено в степень $n$, даёт $a$.
Из данного определения следует свойство $(\sqrt[n]a)^n=a$.
$\sqrt[11]{2048}=2$.
Свойства корня с примерами
Основное свойство корня: величина корня не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же число. Отсюда следует, что корни разных степеней можно привести к одинаковым показателям.
Приведём простой пример.
Рисунок 1. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Также имеются следующее свойства:
Рисунок 2. Свойства. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 3. Свойства. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 4. Свойства. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решим простые примеры.
Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Преобразования корней
При решении корней кроме вышеуказанных свойств применяют простейшие преобразования, такие как
- вынесение множителей за знак корня
Рисунок 7. Вынесение множителей за знак корня. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
- подведение множителей под знак корня
Рисунок 8. Подведение множителей под знак корня. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
- освобождение подкоренного выражения от знаменателей.
Для последнего случая приведём пример с числами:
Рисунок 9. Освобождение подкоренного выражения от знаменателей. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим пример, в котором показывается как происходит освобождение знаменателя дроби от корней.
Имеем:
Рисунок 10. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Произведём умножение членов дробей на $\sqrt5$:
Рисунок 11. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример решения
На практике необходимо помнить все перечисленные свойства и преобразования корней, а также свойства степеней, которые, как мы условились, читателю уже известны. Решим типичный пример, который встречается, например, в ЕГЭ.
Нужно вычислить выражение: $9+\sqrt[6]{2\sqrt5-3\sqrt3}\cdot\sqrt[6]{47+12\sqrt{15}}\cdot\sqrt[3]{49}$.
$9+\sqrt[6]{(2\sqrt5-3\sqrt3)^2\cdot(47+12\sqrt{15})}\cdot\sqrt[3]{7^2}=9+\sqrt[6]{(20-12\sqrt{15}+27)\cdot(47+12\sqrt{15})\cdot7^4}=9+\sqrt[6]{(2209-2160)}\cdot\sqrt[3]{7^2}=9+\sqrt[6]{7^2}\cdot\sqrt[3]{7^2}=9+\sqrt[3]{7\cdot7^2}=9+7=16.$
