Первообразная $F(x)$ для функции $y=f(x)$ на отрезке $[a;b]$ - это функция, которая является дифференцируемой в каждой точке данного отрезка и для ее производной выполняется следующее равенство:
\[F'(x)=f(x).\]Совокупность всех первообразных данной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от данной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.
Определение 2 можно переписать в виде:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]Обозначения:
- $\int $ - знак интеграла;
- $f(x)$ - подынтегральная функция;
- $x$ - переменная интегрирования;
- $f(x)dx$ - подынтегральное выражение.
Свойство 1.
Производная, взятая от неопределенного интеграла, будет равна заданной подынтегральной функции:
\[\left(\int f(x)dx \right)'=\left(F(x)+C\right)'=f(x).\]Другими словами, производная от всякой первообразной будет равна заданной подынтегральной функции.
Проверить выполнимость свойства 1 для интеграла $\int \frac{dx}{x} $.
Решение:
\[\int \frac{dx}{x} =\ln |x|+C.\]Выполним проверку свойства 1:
\[\left(\int \frac{dx}{x} \right)'=\left(\ln |x|+C\right)'=\frac{1}{x} .\]Свойство 2.
Дифференциал, взятый от неопределенного интеграла, будет равен подынтегральному выражению:
\[d\left(\int f(x)dx \right)=f(x)dx.\]Проверить выполнимость свойства 2 для интеграла $\int e^{x} dx $.
Решение:
По таблице интегралов:
\[\int e^{x} dx =e^{x} +C.\]Выполним проверку свойства 2:
\[d\left(\int \frac{dx}{x} \right)=d\left(\ln |x|+C\right)=\left(\ln |x|+C\right)'dx=\frac{dx}{x} .\]Неопределенный интеграл от дифференциала заданной функции равен сумме данной функции и некоторой произвольной постоянной:
\[\int dF(x) =F(x)+C.\]Проверить выполнимость свойства 3 для интеграла $\int d(x^{2} ) $.
Решение:
Преобразуем интеграл:
\[\int d(x^{2} ) =\int 2xdx =2\int xdx .\]По таблице интегралов:
\[\int xdx =\frac{x^{2} }{2} +C.\]Выполним проверку свойства 3:
\[\int d(x^{2} ) =2\int xdx =2\cdot \left(\frac{x^{2} }{2} +C_{1} \right)=x^{2} +2C_{1} =x^{2} +C,\, \, C=2\cdot C_{1} .\]Неопределенный интеграл, взятый от алгебраической суммы двух или более функций, равен алгебраической сумме интегралов данных функций:
\[\int [f_{1} (x)+...+f_{n} (x)]dx =\int f_{1} (x)dx +...+\int f_{n} (x)dx .\]Найти интеграл: $\int \left(3+\frac{1}{x} +\cos x\right) dx$.
Решение:
При вычислении интеграла воспользуемся теоремой 1:
\[\int \left(3+\frac{1}{x} +\cos x\right) dx=\int 3dx +\int \frac{1}{x} dx +\int \cos xdx .\]По таблице интегралов:
\[\int dx =x+C;\] \[\int \frac{1}{x} dx =\ln |x|+C;\] \[\int \cos xdx =\sin x+C.\]Применяя табличные значения, получим:
\[\int \left(3+\frac{1}{x} +\cos x\right) dx=3x+C_{1} +\ln |x|+C_{2} +\sin x+C_{3} =3x+\ln |x|+\sin x+C,\, \, C=C_{1} +C_{2} +C_{3} \]Постоянный множитель, находящийся под знаком интеграла, можно вынести за знак интеграла:
\[\int af(x)dx =a\int f(x)dx ,\, \, \, a=const.\]Найти интеграл: $\int 3x dx$.
Решение:
При вычислении интеграла воспользуемся теоремой 2:
\[\int 3x dx=3\cdot \int x dx.\]По таблице интегралов:
\[\int x dx=\frac{x^{2} }{2} +C.\]Применяя табличное значение, получим:
\[\int 3x dx=3\cdot \frac{x^{2} }{2} +C=\frac{3x^{2} }{2} +C\]При вычислении неопределенных интегралов полезно иметь в виду следующие правила.
Правило 1.
Если $\int f(x)dx =F(x)+C$, то $\int f(ax)dx =\frac{1}{a} F(ax)+C$.
Найти интеграл: $\int \sin (3x) dx$.
Решение:
По таблице интегралов:
\[\int \sin x dx=-\cos x+C.\]При вычислении интеграла воспользуемся теоремой 2:
\[\int \sin (3x )dx=\frac{1}{3} \cdot (-\cos (3x))+C=-\frac{1}{3} \cdot \cos (3x)+C.\]Правило 2.
Если $\int f(x)dx =F(x)+C$, то $\int f(x+b)dx =F(x+b)+C$.
Найти интеграл: $\int (x+1)^{2} dx$.
Решение:
По таблице интегралов:
\[\int x^{n} dx=\frac{x^{n+1} }{n+1} +C.\]При вычислении интеграла воспользуемся правилом 2:
\[\int (x+1)^{2} dx=\frac{(x+1)^{3} }{3} +C.\]Правило 3.
Если $\int f(x)dx =F(x)+C$, то $\int f(ax+b)dx =\frac{1}{a} F(ax+b)+C$.
Найти интеграл:
\[\int \cos (3x+2) dx.\]Решение:
По таблице интегралов: $\int \cos x dx=\sin x+C$.
При вычислении интеграла воспользуемся правилом 3:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C.\]
