Свойства неопределенного интеграла

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Первообразная $F(x)$ для функции $y=f(x)$ на отрезке $[a;b]$ - это функция, которая является дифференцируемой в каждой точке данного отрезка и для ее производной выполняется следующее равенство:

$F'(x)=f(x).$

Определение 2

Совокупность всех первообразных данной функции $y=f(x)$ , определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от данной функции $y=f(x)$ . Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx$ .

Примечание 1

Определение 2 можно переписать в виде:

$\int f(x)dx =F(x)+C.$

Обозначения:

$\int$ - знак интеграла;
$f(x)$ - подынтегральная функция;
$x$ - переменная интегрирования;
$f(x)dx$ - подынтегральное выражение.

Теорема 1

Свойство 1.

Производная, взятая от неопределенного интеграла, будет равна заданной подынтегральной функции:

$\left(\int f(x)dx \right)'=\left(F(x)+C\right)'=f(x).$

Другими словами, производная от всякой первообразной будет равна заданной подынтегральной функции.

Пример 1

Проверить выполнимость свойства 1 для интеграла $\int \frac{dx}{x}$ .

Решение:

По таблице интегралов:

$\int \frac{dx}{x} =\ln |x|+C.$

Выполним проверку свойства 1:

$\left(\int \frac{dx}{x} \right)'=\left(\ln |x|+C\right)'=\frac{1}{x} .$

Теорема 2

Свойство 2.

Дифференциал, взятый от неопределенного интеграла, будет равен подынтегральному выражению:

$d\left(\int f(x)dx \right)=f(x)dx.$

«Свойства неопределенного интеграла» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 2

Проверить выполнимость свойства 2 для интеграла $\int e^{x} dx$ .

Решение:

По таблице интегралов:

$\int e^{x} dx =e^{x} +C.$

Выполним проверку свойства 2:

$d\left(\int \frac{dx}{x} \right)=d\left(\ln |x|+C\right)=\left(\ln |x|+C\right)'dx=\frac{dx}{x} .$

Теорема 3

Неопределенный интеграл от дифференциала заданной функции равен сумме данной функции и некоторой произвольной постоянной:

$\int dF(x) =F(x)+C.$

Пример 3

Проверить выполнимость свойства 3 для интеграла $\int d(x^{2} )$ .

Решение:

Преобразуем интеграл:

$\int d(x^{2} ) =\int 2xdx =2\int xdx .$

По таблице интегралов:

$\int xdx =\frac{x^{2} }{2} +C.$

Выполним проверку свойства 3:

$\int d(x^{2} ) =2\int xdx =2\cdot \left(\frac{x^{2} }{2} +C_{1} \right)=x^{2} +2C_{1} =x^{2} +C,\, \, C=2\cdot C_{1} .$

Теорема 4

Неопределенный интеграл, взятый от алгебраической суммы двух или более функций, равен алгебраической сумме интегралов данных функций:

$\int [f_{1} (x)+...+f_{n} (x)]dx =\int f_{1} (x)dx +...+\int f_{n} (x)dx .$

Пример 4

Найти интеграл: $\int \left(3+\frac{1}{x} +\cos x\right) dx$ .

Решение:

При вычислении интеграла воспользуемся теоремой 1:

$\int \left(3+\frac{1}{x} +\cos x\right) dx=\int 3dx +\int \frac{1}{x} dx +\int \cos xdx .$

По таблице интегралов:

$\int dx =x+C;$

$\int \frac{1}{x} dx =\ln |x|+C;$

$\int \cos xdx =\sin x+C.$

Применяя табличные значения, получим:

$\int \left(3+\frac{1}{x} +\cos x\right) dx=3x+C_{1} +\ln |x|+C_{2} +\sin x+C_{3} =3x+\ln |x|+\sin x+C,\, \, C=C_{1} +C_{2} +C_{3}$

Теорема 5

Постоянный множитель, находящийся под знаком интеграла, можно вынести за знак интеграла:

$\int af(x)dx =a\int f(x)dx ,\, \, \, a=const.$

Пример 5

Найти интеграл: $\int 3x dx$ .

Решение:

При вычислении интеграла воспользуемся теоремой 2:

$\int 3x dx=3\cdot \int x dx.$

По таблице интегралов:

$\int x dx=\frac{x^{2} }{2} +C.$

Применяя табличное значение, получим:

$\int 3x dx=3\cdot \frac{x^{2} }{2} +C=\frac{3x^{2} }{2} +C$

При вычислении неопределенных интегралов полезно иметь в виду следующие правила.

Определение 3

Правило 1.

Если $\int f(x)dx =F(x)+C$ , то $\int f(ax)dx =\frac{1}{a} F(ax)+C$ .

Пример 6

Найти интеграл: $\int \sin (3x) dx$ .

Решение:

По таблице интегралов:

$\int \sin x dx=-\cos x+C.$

При вычислении интеграла воспользуемся теоремой 2:

$\int \sin (3x )dx=\frac{1}{3} \cdot (-\cos (3x))+C=-\frac{1}{3} \cdot \cos (3x)+C.$

Определение 4

Правило 2.

Если $\int f(x)dx =F(x)+C$ , то $\int f(x+b)dx =F(x+b)+C$ .

Пример 7

Найти интеграл: $\int (x+1)^{2} dx$ .

Решение:

По таблице интегралов:

$\int x^{n} dx=\frac{x^{n+1} }{n+1} +C.$

При вычислении интеграла воспользуемся правилом 2:

$\int (x+1)^{2} dx=\frac{(x+1)^{3} }{3} +C.$

Определение 5

Правило 3.

Если $\int f(x)dx =F(x)+C$ , то $\int f(ax+b)dx =\frac{1}{a} F(ax+b)+C$ .

Пример 8

Найти интеграл:

$\int \cos (3x+2) dx.$

Решение:

По таблице интегралов: $\int \cos x dx=\sin x+C$ .

При вычислении интеграла воспользуемся правилом 3:

$\int \cos (3x+2) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C.$

Дата последнего обновления статьи: 16.02.2025

Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot