Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Признаки параллельности прямых

Определение 1

Прямую с называют секущей для прямых а и b, если она пересекает их в двух точках.

Рассмотрим две прямые a и b и секущую прямую с.

При их пересечении возникают углы, которые обозначим цифрами от 1 до 8.

У каждого из этих углов есть название, которое часто приходиться употреблять в математике:

  • пары углов 3 и 5, 4 и 6 называются накрест лежащими;
  • пары углов 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называют соответственными;
  • пары углов 4 и 5, 5 и 6 называют односторонними.

Признаки параллельности прямых

Равенство пары накрест лежащих углов для прямых a и b и секущей с говорит о том, что прямые a и b – параллельны:

если 1=2, то ab.

Доказательство.

Пусть накрест лежащие углы для прямых а и b и секущей с равны: 1=2.

Покажем, что ab.

При условии, что углы 1 и 2 будут прямыми, получим, что прямые а и b будут перпендикулярными относительно прямой АВ, а значит – параллельными.

При условии, что углы 1 и 2 не являются прямыми, проведем из точки О – середины отрезка АВ, перпендикуляр ОН к прямой а.

На прямой b отложим отрезок BH1=AH и проведем отрезок OH1. Получаем два равных треугольника ОНА и ОH1В по двум сторонам и углу между ними (1=2, АО=ВО, BH1=AH), поэтому 3=4 и 5=6. Т.к. 3=4, то точка H1 лежит на луче ОН, таким образом точки Н, О и H1 принадлежат одной прямой. Т.к. 5=6, то 6=90. Таким образом, прямые а и b являются перпендикулярными относительно прямой HH1 являются параллельными. Теорема доказана.

«Признаки параллельности прямых» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Теорема 2

Равенство пары соответственных углов для прямых a и b и секущей с говорит о том, что прямые a и b – параллельны:

если 1=2, то ab.

Доказательство.

Пусть соответственные углы для прямых а и b и секущей с равны: 1=2. Углы 2 и 3 являются вертикальными, поэтому 2=3. Значит 1=3. Т.к. углы 1 и 3 – накрест лежащие, то прямые а и b являются параллельными. Теорема доказана.

Теорема 3

Если сумма двух односторонних углов для прямых a и b и секущей с равна 180C, то прямые a и b – параллельны:

если 1+4=180, то ab.

Доказательство.

Пусть односторонние углы для прямых а и b и секущей с в сумме дают 180, например

1+4=180.

Углы 3 и 4 являются смежными, поэтому

3+4=180.

Из полученных равенств видно, что накрест лежащие углы 1=3, из чего следует, что прямые а и b являются параллельными.

Теорема доказана.

Из рассмотренных признаков вытекает параллельность прямых.

Примеры решения задач

Пример 1

Точка пересечения делит отрезки АВ и CD пополам. Доказать, что ACBD.

Дано: AO=OB, CO=OD.

Доказать: ACBD.

Доказательство.

Из условия задачи AO=OB, CO=OD и равенства вертикальных углов 1=2 согласно I-му признаку равенства треугольников следует, что COA=△DOB. Таким образом, 3=4.

Углы 3 и 4 – накрест лежащие при двух прямых AC и BD и секущей AB. Тогда согласно I-му признаку параллельности прямых ACBD. Утверждение доказано.

Пример 2

Дан угол 2=45, а 7 в 3 раза больше данного угла. Доказать, что ab.

Дано: 2=45, 7=32.

Доказать: ab.

Доказательство:

  1. Найдем значение угла 7:

7=345=135.

  1. Вертикальные углы 5=7=135, 2=4=45.
  2. Найдем сумму внутренних углов 5+4=135+45=180.

Согласно III-му признаку параллельности прямых ab. Утверждение доказано.

Пример 3

Дано: ABC=△ADB.

Доказать: ACBD, ADBC.

Доказательство:

У рассматриваемых рисунков сторона АВ – общая.

Т.к. треугольники АВС и ADB равны, то AD=CB, AC=BD, а также соответствующие углы равны 1=2, 3=4, 5=6.

Пара углов 3 и 4 – накрест лежащие для прямых АС и BD и соответствующей секущей АВ, поэтому согласно I-му признаку параллельности прямых ACBD.

Пара углов 5 и 6 – накрест лежащие для прямых AD и BC и соответствующей секущей АВ, поэтому согласно I-му признаку параллельности прямых ADBC.

Дата последнего обновления статьи: 22.07.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Признаки параллельности прямых"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant