Прямую с называют секущей для прямых а и b, если она пересекает их в двух точках.
Рассмотрим две прямые a и b и секущую прямую с.
При их пересечении возникают углы, которые обозначим цифрами от 1 до 8.
У каждого из этих углов есть название, которое часто приходиться употреблять в математике:
- пары углов 3 и 5, 4 и 6 называются накрест лежащими;
- пары углов 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называют соответственными;
- пары углов 4 и 5, 5 и 6 называют односторонними.
Признаки параллельности прямых
Равенство пары накрест лежащих углов для прямых a и b и секущей с говорит о том, что прямые a и b – параллельны:
если ∠1=∠2, то a∥b.
Доказательство.
Пусть накрест лежащие углы для прямых а и b и секущей с равны: ∠1=∠2.
Покажем, что a∥b.
При условии, что углы 1 и 2 будут прямыми, получим, что прямые а и b будут перпендикулярными относительно прямой АВ, а значит – параллельными.
При условии, что углы 1 и 2 не являются прямыми, проведем из точки О – середины отрезка АВ, перпендикуляр ОН к прямой а.
На прямой b отложим отрезок BH1=AH и проведем отрезок OH1. Получаем два равных треугольника ОНА и ОH1В по двум сторонам и углу между ними (∠1=∠2, АО=ВО, BH1=AH), поэтому ∠3=∠4 и ∠5=∠6. Т.к. ∠3=∠4, то точка H1 лежит на луче ОН, таким образом точки Н, О и H1 принадлежат одной прямой. Т.к. ∠5=∠6, то ∠6=90∘. Таким образом, прямые а и b являются перпендикулярными относительно прямой HH1 являются параллельными. Теорема доказана.
Равенство пары соответственных углов для прямых a и b и секущей с говорит о том, что прямые a и b – параллельны:
если ∠1=∠2, то a∥b.
Доказательство.
Пусть соответственные углы для прямых а и b и секущей с равны: ∠1=∠2. Углы 2 и 3 являются вертикальными, поэтому ∠2=∠3. Значит ∠1=∠3. Т.к. углы 1 и 3 – накрест лежащие, то прямые а и b являются параллельными. Теорема доказана.
Если сумма двух односторонних углов для прямых a и b и секущей с равна 180∘C, то прямые a и b – параллельны:
если ∠1+∠4=180∘, то a∥b.
Доказательство.
Пусть односторонние углы для прямых а и b и секущей с в сумме дают 180∘, например
∠1+∠4=180∘.
Углы 3 и 4 являются смежными, поэтому
∠3+∠4=180∘.
Из полученных равенств видно, что накрест лежащие углы ∠1=∠3, из чего следует, что прямые а и b являются параллельными.
Теорема доказана.
Из рассмотренных признаков вытекает параллельность прямых.
Примеры решения задач
Точка пересечения делит отрезки АВ и CD пополам. Доказать, что AC∥BD.
Дано: AO=OB, CO=OD.
Доказать: AC∥BD.
Доказательство.
Из условия задачи AO=OB, CO=OD и равенства вертикальных углов ∠1=∠2 согласно I-му признаку равенства треугольников следует, что △COA=△DOB. Таким образом, ∠3=∠4.
Углы 3 и 4 – накрест лежащие при двух прямых AC и BD и секущей AB. Тогда согласно I-му признаку параллельности прямых AC∥BD. Утверждение доказано.
Дан угол ∠2=45∘, а ∠7 в 3 раза больше данного угла. Доказать, что a∥b.
Дано: ∠2=45∘, ∠7=3∠2.
Доказать: a∥b.
Доказательство:
- Найдем значение угла 7:
∠7=3⋅45∘=135∘.
- Вертикальные углы ∠5=∠7=135∘, ∠2=∠4=45∘.
- Найдем сумму внутренних углов ∠5+∠4=135∘+45∘=180∘.
Согласно III-му признаку параллельности прямых a∥b. Утверждение доказано.
Дано: △ABC=△ADB.
Доказать: AC∥BD, AD∥BC.
Доказательство:
У рассматриваемых рисунков сторона АВ – общая.
Т.к. треугольники АВС и ADB равны, то AD=CB, AC=BD, а также соответствующие углы равны ∠1=∠2, ∠3=∠4, ∠5=∠6.
Пара углов 3 и 4 – накрест лежащие для прямых АС и BD и соответствующей секущей АВ, поэтому согласно I-му признаку параллельности прямых AC∥BD.
Пара углов 5 и 6 – накрест лежащие для прямых AD и BC и соответствующей секущей АВ, поэтому согласно I-му признаку параллельности прямых AD∥BC.