Параллельность прямых и плоскостей

Таким образом, запись $M\left(a,b,c\right)$ означает, что точка $M$ имеет координаты $x=a$, $y=b$ и $z=c$. Эти координаты называют также абсциссой, ординатой и аппликатой точки соответственно.

В цилиндрической системе координат пространственными координатами данной точки $M\left(a,b,c\right)$ являются три числа: $\rho =a$ и $\phi =b$ -- полярные координаты ее проекции на основную плоскость (полярный радиус и полярный угол), $z=c$ -- величина проекции точки на ось, перпендикулярную основной плоскости (аппликата).

Сферическую систему координат в пространстве образуют следующим образом. В некоторой основной плоскости фиксируют точку $O$, которую считают началом координат. Из точки $O$ проводят два луча: луч $Ox$, который лежит в основной плоскости, и луч $Oz$, перпендикулярный основной плоскости. Теперь положение любой точки $M\left(a,b,c\right)$ в пространстве может быть задано тремя следующими числами: $\rho =a$ -- расстояние точки от начала координат, то есть длина отрезка $OM$, $\theta =b$ -- зенитний угол, то есть угол между осью $Oz$ и отрезком $OM$, а также $\phi =c$ -- азимутальный угол, то есть угол между осью $Ox$ и проекцией отрезка $OM$ на основную плоскость. Указанные координаты сферической системы рассматриваются в следующих пределах: $\rho \ge 0$, $0\le \theta \le \pi $, $0\le \phi

Дополнительно заметим, что сферические координаты $\theta $ и $\phi $ неопределены математически и не имеют смысла физически при $\rho =0$ (точка находится в начале координат), а угол $\phi $ еще и при $\sin \theta =0$ (точка находится на оси $z$).

Система векторов в пространстве

Декартову прямоугольную систему координат в пространстве можно задать указанием ее начала $O$, а также трех единичных векторов (ортов) координатных осей, которые называются базисными, обозначаются $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ и направлены вдоль осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

Рассмотрим некоторый вектор $\overline{a}$, начало которого находится в точке $A\left(x_{a} ,\; y_{a} ,z_{a} \right)$, а конец -- в точке $B\left(x_{b} ,\; y_{b} ,z_{b} \right)$. При таких условиях проекции вектора $\overline{a}$ на оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ равняются разностям одноименных координат его конца и начала, то есть координатами вектора являются числа $x=x_{b} -x_{a} $, $y=y_{b} -y_{a} $ и $z=z_{b} -z_{a} $. При этом выражение $\overline{a}=x\cdot \overline{i}+y\cdot \overline{j}+z\cdot \overline{k}$ называется разложением вектора $\overline{a}$ по базису $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$.

Длина вектора $\overline{a}$ может быть вычислена по формуле $\left|\overline{a}\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} } $. Если данный вектор умножить на число, обратное его длине, то будет получен орт $\overline{a_{0} }$ данного вектора $\overline{a}$, то есть $\overline{a_{0} }=\frac{1}{\left|\overline{a}\right|} \cdot \overline{a}$. Любой вектор можно представить в виде произведения его длины и его орта: $\overline{a}=\left|\overline{a}\right|\cdot \overline{a_{0} }$.

Пусть вектор $\overline{a}=x\cdot \overline{i}+y\cdot \overline{j}+z\cdot \overline{k}$ составляет с осями $Ox$, $Oy$ и $Oz$ углы $\alpha $, $\beta $ и $\gamma $ соответственно. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора. Их можно вычислить по формулам $\cos \alpha =\frac{x}{\left|\overline{a}\right|} $, $\cos \beta =\frac{y}{\left|\overline{a}\right|} $ и $\cos \gamma =\frac{z}{\left|\overline{a}\right|} $. Направляющие косинусы данного вектора являются проекциями его орта на координатные оси, то есть $\overline{a_{0} }=\cos \alpha \cdot \overline{i}+\cos \beta \cdot \overline{j}+\cos \gamma \cdot \overline{k}$. Сумма квадратов направляющих косинусов вектора равняется единице.

Плоскость в пространстве

Общее уравнение плоскости $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$ является уравнением первой степени (линейным) относительно пространственных координат $x,\; y,\; z$. Вектор $\overline{N}=A\cdot \overline{i}+B\cdot \overline{j}+C\cdot \overline{k}$ является вектором, перпендикулярным этой плоскости. Его координаты совпадают с коэффициентами общего уравнения плоскости.

Опустим на плоскость $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$ перпендикуляр $OP$ из начала координат. Этот перпендикуляр называется нормалью плоскости. Пусть известны длина нормали $p\ge 0$ и направляющие углы $\alpha $, $\beta $, $\gamma $, которые она образует с осями $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Уравнение $x\cdot \cos \alpha +y\cdot \cos \beta +z\cdot \cos \gamma -p=0$ называется нормальным уравнением плоскости. Основные требования к нему заключаются в том, чтобы, во-первых, сумма квадратов коэффициентов при координатах равнялась единице, а во-вторых, чтобы свободный член был отрицательным.

Пусть плоскость не проходит через начало координат и отсекает на координатных осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ отрезки $a$, $b$ и $c$. Уравнение $\frac{x}{a} +\frac{y}{b} +\frac{z}{c} =1$ является уравнением плоскости в отрезках.

Прямая линия в пространстве

Положение прямой $L$ в пространстве можно определить однозначно, если задать точку $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$, через которую она проходит, а также направляющий вектор $\overline{R}=m\cdot \overline{i}+n\cdot \overline{j}+p\cdot \overline{k}$. Уравнения $\frac{x-x_{0} }{m} =\frac{y-y_{0} }{n} =\frac{z-z_{0} }{p} $ называются каноническими уравнениями прямой.

Используем обозначения: $\frac{x-x_{0} }{m} =t$, $\frac{y-y_{0} }{n} =t$, $\frac{z-z_{0} }{p} =t$. Здесь $t$ -- параметр. Из этих равенств получаем: $x=x_{0} +m\cdot t$, $y=y_{0} +n\cdot t$, $z=z_{0} +p\cdot t$. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Прямую линию в пространстве можно определить также как линию пересечения двух не параллельных между собой плоскостей: $A_{1} \cdot x+B_{1} \cdot y+C_{1} \cdot z+D_{1} =0$ и $A_{2} \cdot x+B_{2} \cdot y+C_{2} \cdot z+D_{2} =0$. Уравнения этих плоскостей называются общими уравнениями прямой.

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

1. Пусть в пространстве заданы две прямых $L_{1} $ и $L_{2} $, а именно: $\frac{x-x_{1} }{m_{1} } =\frac{y-y_{1} }{n_{1} } =\frac{z-z_{1} }{p_{1} } $ и $\frac{x-x_{2} }{m_{2} } =\frac{y-y_{2} }{n_{2} } =\frac{z-z_{2} }{p_{2} } $.

Условие параллельности этих прямых имеет вид: $\frac{m_{1} }{m_{2} } =\frac{n_{1} }{n_{2} } =\frac{p_{1} }{p_{2} } $.

Выполнение условия параллельности двух прямых одновременно означает, что они находятся в одной плоскости.

2. Пусть даны плоскости $A_{1} \cdot x+B_{1} \cdot y+C_{1} \cdot z+D_{1} =0$ и $A_{2} \cdot x+B_{2} \cdot y+C_{2} \cdot z+D_{2} =0$.

Условие параллельности этих двух плоскостей: $\frac{A_{1} }{A_{2} } =\frac{B_{1} }{B_{2} } =\frac{C_{1} }{C_{2} } $.

3. Пусть плоскость $P$ задана общим уравнением $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$, а прямая $L$ задана параметрическими уравнениями $x=x_{0} +m\cdot t$, $y=y_{0} +n\cdot t$, $z=z_{0} +p\cdot t$.

В этом случае условие параллельности прямой и плоскости имеет вид $A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p=0$.

Частным случаем параллельности прямой и плоскости является принадлежность прямой плоскости.