Парабола — это кривая, образованная геометрическим множеством точек, равноудалённых от точки $F$, не лежащей на параболе, и прямой $d$, не проходящей через точку $F$.
Рисунок 1. Парабола в прямоугольной системе координат
Парабола наряду с окружностью, эллипсом и гиперболой является одним из сечений конуса.
Парабола симметрична относительно своей оси, и поэтому можно построить сначала одну половину параболы, а затем, отложив симметричные этой половине точки, уже другую.
Классическая парабола описывается уравнением, оно имеет следующий вид:
$y^2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.
Это уравнение является каноническим уравнением параболы и описывает вид параболы в прямоугольной системе координат.
Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями параболы с вершиной, располагающейся не на пересечении осей координат, их общий вид представлен формулой: $y = ax^2 + bx + c$.
Кто придумал параболу
Парабола известна математикам уже очень давно, а название этой функции дал древнегреческий математик Аполлоний Пергский в III в. до н.э., изучавший свойства сечений конуса.
Также изучением параболы занимались Архимед и Папп Александрийский.
В дальнейшем разные учёные показали, что многие явления можно описать параболой, так, например, была открыта траектория движения снаряда.
Основные определения и строение параболы
Вершина параболы — это точка, находящаяся на минимальном расстоянии от директрисы параболы $d$.
Фокус $F$ параболы — это точка, через которую проходит ось симметрии параболы, перпендикулярная прямой, находящаяся на расстоянии $d$. Фокус расположен на расстоянии $\frac{p}{2}$ от вершины. Координаты фокуса классической параболы можно определить из её уравнения.
Фокус и вершина являются основными точками, характеризующими параболу.
Параметр $p$ параболы иначе называется фокальным параметром и является расстоянием между фокусом и директрисой. Чтобы найти фокальный параметр параболы, нужно выразить $p$ из формулы канонического уравнения параболы:
$p = \frac{y^2}{2x}$, где $x$ и $y$ — координаты точки, лежащей на параболе. Координаты фокуса параболы определяются через значение фокального параметра и равны ($\frac{p}{2};0)$.
Анализ уравнения и описание параболы
Сначала необходимо обратить внимание на коэффициент $a$ при $x^2$. Если он отрицательный, то парабола перевёрнутая по отношению к обычной и её ветви смотрят вниз, а если положительный – то её ветви смотрят вверх. Также модуль коэффициента $a$ влияет на степень пологости (ширину) параболы, чем меньше модуль $a$, тем парабола более широкая (пологая), и чем больше модуль $a$, тем она более узкая (крутая).
Далее необходимо посмотреть на коэффициент $c$. Коэффициент $c$ обозначает смещение по оси $OY$ относительно пересечения осей координат. Это легко проверить, если приравнять $x$ к нулю в имеющемся уравнении. Если коэффициент $c$ - положительный, то парабола смещена вверх относительно точки $(0;0)$, а если отрицательный – то вниз. В случае если $c=0$ — парабола проходит через точку начала координат.
Теперь можно найти вершину параболы, её координаты вычисляются по формуле:
$x = - \frac{b}{2a}$ (1).
Чтобы найти $y$, нужно подставить полученный по формуле $x$ в уравнение.
Рассмотрим уравнение параболы $y = x^2 + 2x + 3$
Рисунок 2. Анализ уравнения параболы, график и примеры решения
- Коэффициент при $a$ положительный, значит, ветви параболы смотрят вверх.
- Теперь смотрим на коэффициент $c$, он равен 3, значит, парабола пересекается с осью ординат в точке $(0; 3)$.
- Найдём координату $x$ вершины параболы по формуле (1), она равна $x = - \frac{2}{2} = -1$. Теперь найдём значение $y$, подставив значение $x$ в уравнение: $y = 1^2 +(-1) \cdot 2 + 3 = 2$. Координаты вершины равны $(-1; 2)$.
