Парабола

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Парабола — это кривая, образованная геометрическим множеством точек, равноудалённых от точки $F$ , не лежащей на параболе, и прямой $d$ , не проходящей через точку $F$ .

Рисунок 1. Парабола в прямоугольной системе координат

Парабола наряду с окружностью, эллипсом и гиперболой является одним из сечений конуса.

Парабола симметрична относительно своей оси, и поэтому можно построить сначала одну половину параболы, а затем, отложив симметричные этой половине точки, уже другую.

Определение 2

Классическая парабола описывается уравнением, оно имеет следующий вид:

$y^2 = 2px$ , где число $p$ должно быть больше нуля.

Это уравнение является каноническим уравнением параболы и описывает вид параболы в прямоугольной системе координат.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями параболы с вершиной, располагающейся не на пересечении осей координат, их общий вид представлен формулой: $y = ax^2 + bx + c$ .

Кто придумал параболу

Парабола известна математикам уже очень давно, а название этой функции дал древнегреческий математик Аполлоний Пергский в III в. до н.э., изучавший свойства сечений конуса.

Также изучением параболы занимались Архимед и Папп Александрийский.

В дальнейшем разные учёные показали, что многие явления можно описать параболой, так, например, была открыта траектория движения снаряда.

Основные определения и строение параболы

Вершина параболы — это точка, находящаяся на минимальном расстоянии от директрисы параболы $d$ .

«Парабола» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Фокус $F$ параболы — это точка, через которую проходит ось симметрии параболы, перпендикулярная прямой, находящаяся на расстоянии $d$ . Фокус расположен на расстоянии $\frac{p}{2}$ от вершины. Координаты фокуса классической параболы можно определить из её уравнения.

Фокус и вершина являются основными точками, характеризующими параболу.

Параметр $p$ параболы иначе называется фокальным параметром и является расстоянием между фокусом и директрисой. Чтобы найти фокальный параметр параболы, нужно выразить $p$ из формулы канонического уравнения параболы:

$p = \frac{y^2}{2x}$ , где $x$ и $y$ — координаты точки, лежащей на параболе. Координаты фокуса параболы определяются через значение фокального параметра и равны ( $\frac{p}{2};0)$ .

Анализ уравнения и описание параболы

Сначала необходимо обратить внимание на коэффициент $a$ при $x^2$ . Если он отрицательный, то парабола перевёрнутая по отношению к обычной и её ветви смотрят вниз, а если положительный – то её ветви смотрят вверх. Также модуль коэффициента $a$ влияет на степень пологости (ширину) параболы, чем меньше модуль $a$ , тем парабола более широкая (пологая), и чем больше модуль $a$ , тем она более узкая (крутая).
Далее необходимо посмотреть на коэффициент $c$ . Коэффициент $c$ обозначает смещение по оси $OY$ относительно пересечения осей координат. Это легко проверить, если приравнять $x$ к нулю в имеющемся уравнении. Если коэффициент $c$ - положительный, то парабола смещена вверх относительно точки $(0;0)$ , а если отрицательный – то вниз. В случае если $c=0$ — парабола проходит через точку начала координат.
Теперь можно найти вершину параболы, её координаты вычисляются по формуле:
$x = - \frac{b}{2a}$ (1).

Чтобы найти $y$ , нужно подставить полученный по формуле $x$ в уравнение.

Пример 1

Рассмотрим уравнение параболы $y = x^2 + 2x + 3$

Рисунок 2. Анализ уравнения параболы, график и примеры решения

Коэффициент при $a$ положительный, значит, ветви параболы смотрят вверх.
Теперь смотрим на коэффициент $c$ , он равен 3, значит, парабола пересекается с осью ординат в точке $(0; 3)$ .
Найдём координату $x$ вершины параболы по формуле (1), она равна $x = - \frac{2}{2} = -1$ . Теперь найдём значение $y$ , подставив значение $x$ в уравнение: $y = 1^2 +(-1) \cdot 2 + 3 = 2$ . Координаты вершины равны $(-1; 2)$ .