Определенный интеграл и его основные свойства

Перечень основных свойств

Геометрический смысл определенного интеграла (ОИ) от функции $y=f\left(x\right)$ на отрезке $\left[a,\; b\right]$ состоит в том, что интеграл представляет собой число, которое выражает площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Из геометрического смысла ОИ, а также из того, что он является пределом некоторой интегральной суммы, вытекают следующие его свойства.

1. Интеграл на отрезке нулевой длины равен нулю, то есть $\int \limits _{a}^{a}f\left(x\right)\cdot dx =0$.
2. Если подынтегральная функция тождественно равна единице, то$\int \limits _{a}^{b}dx =b-a$, то есть общая сумма отдельных отрезков равна ширине отрезка интегрирования.
3. При перестановке пределов интегрирования местами ОИ меняет свой знак на противоположный, то есть $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =-\int \limits _{b}^{a}f\left(x\right)\cdot dx$.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак ОИ, то есть$\int \limits _{a}^{b}C\cdot f\left(x\right)\cdot dx =C\cdot \int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx$, где $C$ -- произвольная постоянная.
5. ОИ от суммы функций равен сумме ОИ от этих функций, то есть $\int \limits _{a}^{b}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\cdot dx =\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx +\int \limits _{a}^{b}g\left(x\right)\cdot dx$.
6. Аддитивность интеграла: $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =\int \limits _{a}^{c}f\left(x\right)\cdot dx +\int \limits _{c}^{b}f\left(x\right)\cdot dx$, где $a\le c\le b$.

Отметим, что именно данное свойство обеспечивает интегрируемость функции, если точка $x=c$ является точкой её конечного разрыва. При этом значение функции в этой точке не влияет ни на существование, ни на значение определенного интеграла.

7. Неравенство можно почленно интегрировать, то есть если $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$, то $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx \le \int \limits _{b}^{a}g\left(x\right)\cdot dx$.
8. Интегрируемость абсолютной величины функции: $\left|\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx \right|\le \int \limits _{b}^{a}\left|f\left(x\right)\right|\cdot dx$. Эта формула является свидетельством того, что площадь криволинейной трапеции может рассматриваться с учетом знаков, а именно: площади, расположенные выше оси $Ox$, считаются положительными, а расположенные ниже оси $Ox$ -- отрицательными.
9. Теорема о среднем значении ОИ: если функция $y=f\left(x\right)$ непрерывна на отрезке $\left[a,\; b\right]$, то существует такая точка $a\le c\le b$, что выполняется равенство $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =f\left(c\right)\cdot \left(b-a\right)$. Значение $f\left(c\right)$ называется средним значением функции $y=f\left(x\right)$ на отрезке $\left[a,\; b\right]$.
10. Интеграл является числом того же знака, что и функция, то есть $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx >0$, если $f\left(x\right)>0$, и $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx

    Определенный интеграл с переменным верхним пределом

    Пусть функция $f\left(x\right)$ непрерывна на заданном отрезке $\left[a,\; b\right]$. Известно, что ОИ $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx$, пределы интегрирования которого -- постоянные числа, имеет результатом некоторое конкретное число. При этом значение интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть интеграл $\int \limits _{a}^{b}f\left(t\right)\cdot dt$ имеет то же самое значение.

    Теперь предположим, что верхний предел интегрирования меняется. Разумеется, при этом будет меняться и значение интеграла. Таким образом, можно сделать вывод, что ОИ с переменным верхним пределом является функцией, зависимой от значения верхнего предела.

    Если переменный верхний предел интегрирования обозначить $x$, то ОИ с переменным верхним пределом имеет вид $F\left(x\right)=\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt$ и представляет собой зависимую от $x$ функцию. Этот интеграл гарантированно существует, если верхний предел $x$ удовлетворяет условию $a\le x\le b$. Одним из свойств функции $F\left(x\right)$ является то, что она непрерывна по верхнему пределу интегрирования.

    Используя функцию $F\left(x\right)=\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt$ можно установить связь между её производной и определенного интеграла.