Определенный интеграл и его основные свойства

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Перечень основных свойств

Геометрический смысл определенного интеграла (ОИ) от функции $y=f\left(x\right)$ на отрезке $\left[a,\; b\right]$ состоит в том, что интеграл представляет собой число, которое выражает площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Из геометрического смысла ОИ, а также из того, что он является пределом некоторой интегральной суммы, вытекают следующие его свойства.

Интеграл на отрезке нулевой длины равен нулю, то есть $\int \limits _{a}^{a}f\left(x\right)\cdot dx =0$ .
Если подынтегральная функция тождественно равна единице, то $\int \limits _{a}^{b}dx =b-a$ , то есть общая сумма отдельных отрезков равна ширине отрезка интегрирования.
При перестановке пределов интегрирования местами ОИ меняет свой знак на противоположный, то есть $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =-\int \limits _{b}^{a}f\left(x\right)\cdot dx$ .
Постоянный множитель можно выносить за знак ОИ, то есть $\int \limits _{a}^{b}C\cdot f\left(x\right)\cdot dx =C\cdot \int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx$ , где $C$ -- произвольная постоянная.
ОИ от суммы функций равен сумме ОИ от этих функций, то есть $\int \limits _{a}^{b}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\cdot dx =\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx +\int \limits _{a}^{b}g\left(x\right)\cdot dx$ .
Аддитивность интеграла: $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =\int \limits _{a}^{c}f\left(x\right)\cdot dx +\int \limits _{c}^{b}f\left(x\right)\cdot dx$ , где $a\le c\le b$ .

Отметим, что именно данное свойство обеспечивает интегрируемость функции, если точка $x=c$ является точкой её конечного разрыва. При этом значение функции в этой точке не влияет ни на существование, ни на значение определенного интеграла.

Неравенство можно почленно интегрировать, то есть если $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$ , то $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx \le \int \limits _{b}^{a}g\left(x\right)\cdot dx$ .
Интегрируемость абсолютной величины функции: $\left|\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx \right|\le \int \limits _{b}^{a}\left|f\left(x\right)\right|\cdot dx$ . Эта формула является свидетельством того, что площадь криволинейной трапеции может рассматриваться с учетом знаков, а именно: площади, расположенные выше оси $Ox$ , считаются положительными, а расположенные ниже оси $Ox$ -- отрицательными.
Теорема о среднем значении ОИ: если функция $y=f\left(x\right)$ непрерывна на отрезке $\left[a,\; b\right]$ , то существует такая точка $a\le c\le b$ , что выполняется равенство $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =f\left(c\right)\cdot \left(b-a\right)$ . Значение $f\left(c\right)$ называется средним значением функции $y=f\left(x\right)$ на отрезке $\left[a,\; b\right]$ .
Интеграл является числом того же знака, что и функция, то есть $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx >0$ , если $f\left(x\right)>0$ , и $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx
Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция $f\left(x\right)$ непрерывна на заданном отрезке $\left[a,\; b\right]$ . Известно, что ОИ $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx$ , пределы интегрирования которого -- постоянные числа, имеет результатом некоторое конкретное число. При этом значение интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть интеграл $\int \limits _{a}^{b}f\left(t\right)\cdot dt$ имеет то же самое значение.

Теперь предположим, что верхний предел интегрирования меняется. Разумеется, при этом будет меняться и значение интеграла. Таким образом, можно сделать вывод, что ОИ с переменным верхним пределом является функцией, зависимой от значения верхнего предела.

Если переменный верхний предел интегрирования обозначить $x$ , то ОИ с переменным верхним пределом имеет вид $F\left(x\right)=\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt$ и представляет собой зависимую от $x$ функцию. Этот интеграл гарантированно существует, если верхний предел $x$ удовлетворяет условию $a\le x\le b$ . Одним из свойств функции $F\left(x\right)$ является то, что она непрерывна по верхнему пределу интегрирования.

Используя функцию $F\left(x\right)=\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt$ можно установить связь между её производной и определенного интеграла.

Теорема

Если функция $f\left(x\right)$ непрерывна на отрезке $\left[a,\; b\right]$ , то производная функции $F\left(x\right)=\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt$ по верхнему пределу интегрирования $x$ существует и равна значению подынтегральной функции в точке $t=x$ , то есть $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$ .

Доказательство

Дадим переменной $x$ произвольное приращение $\Delta x$ в пределах отрезка $\left[a,\; b\right]$ , то есть $a\le x+\Delta x\le b$ .

Найдем соответствующее приращение функции $F\left(x\right)$ : $\Delta F\left(x\right)=F\left(x+\Delta x\right)-F\left(x\right)=\int \limits _{a}^{x+\Delta x}f\left(t\right)\cdot dt -\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt$ .

Учитывая свойство аддитивности определенного интеграла, можно записать: $\int \limits _{a}^{x+\Delta x}f\left(t\right)\cdot dt =\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt +\int \limits _{x}^{x+\Delta x}f\left(t\right)\cdot dt$ .

Таким образом, получаем: $\Delta F\left(x\right)=\int \limits _{x}^{x+\Delta x}f\left(t\right)\cdot dt$ . Поскольку функция $f\left(x\right)$ непрерывна, то для этого интеграла справедлива теорема о среднем значении, а именно: $\Delta F\left(x\right)=f\left(c\right)\cdot \Delta x$ , где $x\le c\le x+\Delta x$ .

Теперь найдем предел отношения приращений $\frac{\Delta F}{\Delta x}$ при $\Delta x\to 0$ . Очевидно, что при этом $c\to x$ , а поскольку функция $f\left(x\right)$ непрерывна, то и $f\left(c\right)\to f\left(x\right)$ . По определению этот предел равен производной $F'\left(x\right)$ . Окончательно: $F'\left(x\right)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \; \frac{\Delta F}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \; \frac{f\left(c\right)\cdot \Delta x}{\Delta x} =f\left(x\right)$ .

«Определенный интеграл и его основные свойства» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Задача 1

Применяя свойства ОИ и тождественные преобразования подынтегральной функции, представить данный интеграл $\int \limits _{1}^{3}\frac{3\cdot x^{2} -5\cdot x+3}{2\cdot x} \cdot dx$ в виде суммы простейших.

$\int \limits _{1}^{3}\frac{3\cdot x^{2} -5\cdot x+3}{2\cdot x} \cdot dx =\int \limits _{1}^{3}\left(\frac{3}{2} \cdot x-\frac{5}{2} +\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x} \right)\cdot dx =$

$=\frac{3}{2} \cdot \int \limits _{1}^{3}x\cdot dx -\frac{5}{2} \cdot \int \limits _{1}^{3}dx +\frac{3}{2} \cdot \int \limits _{1}^{3}\frac{1}{x} \cdot dx .$

Задача 2

Применяя свойства ОИ и тождественные преобразования подынтегральной функции, представить данный интеграл $\int \frac{e^{3\cdot x} +1}{e^{x} +1} \cdot dx$ в виде суммы простейших.

Преобразуем подынтегральную функцию посредством применения формулы суммы кубов: $a^{3} +b^{3} =\left(a+b\right)\cdot \left(a^{2} -a\cdot b+b^{2} \right)$ .

Получаем:

$\int \limits _{0}^{1}\frac{e^{3\cdot x} +1}{e^{x} +1} \cdot dx =\int \limits _{0}^{1}\frac{\left(e^{x} +1\right)\cdot \left(e^{2\cdot x} -e^{x} +1\right)}{e^{x} +1} \cdot dx =\int \limits _{0}^{1}\left(e^{2\cdot x} -e^{x} +1\right)\cdot dx =$

$=\int \limits _{0}^{1}e^{2\cdot x} \cdot dx -\int \limits _{0}^{1}e^{x} \cdot dx +\int \limits _{0}^{1}dx .$