Перечень основных свойств
Геометрический смысл определенного интеграла (ОИ) от функции $y=f\left(x\right)$ на отрезке $\left[a,\; b\right]$ состоит в том, что интеграл представляет собой число, которое выражает площадь соответствующей криволинейной трапеции.
Из геометрического смысла ОИ, а также из того, что он является пределом некоторой интегральной суммы, вытекают следующие его свойства.
- Интеграл на отрезке нулевой длины равен нулю, то есть $\int \limits _{a}^{a}f\left(x\right)\cdot dx =0$.
- Если подынтегральная функция тождественно равна единице, то$\int \limits _{a}^{b}dx =b-a$, то есть общая сумма отдельных отрезков равна ширине отрезка интегрирования.
- При перестановке пределов интегрирования местами ОИ меняет свой знак на противоположный, то есть $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =-\int \limits _{b}^{a}f\left(x\right)\cdot dx $.
- Постоянный множитель можно выносить за знак ОИ, то есть$\int \limits _{a}^{b}C\cdot f\left(x\right)\cdot dx =C\cdot \int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx $, где $C$ -- произвольная постоянная.
- ОИ от суммы функций равен сумме ОИ от этих функций, то есть $\int \limits _{a}^{b}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\cdot dx =\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx +\int \limits _{a}^{b}g\left(x\right)\cdot dx $.
- Аддитивность интеграла: $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =\int \limits _{a}^{c}f\left(x\right)\cdot dx +\int \limits _{c}^{b}f\left(x\right)\cdot dx $, где $a\le c\le b$.
- Неравенство можно почленно интегрировать, то есть если $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$, то $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx \le \int \limits _{b}^{a}g\left(x\right)\cdot dx $.
- Интегрируемость абсолютной величины функции: $\left|\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx \right|\le \int \limits _{b}^{a}\left|f\left(x\right)\right|\cdot dx $. Эта формула является свидетельством того, что площадь криволинейной трапеции может рассматриваться с учетом знаков, а именно: площади, расположенные выше оси $Ox$, считаются положительными, а расположенные ниже оси $Ox$ -- отрицательными.
- Теорема о среднем значении ОИ: если функция $y=f\left(x\right)$ непрерывна на отрезке $\left[a,\; b\right]$, то существует такая точка $a\le c\le b$, что выполняется равенство $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =f\left(c\right)\cdot \left(b-a\right)$. Значение $f\left(c\right)$ называется средним значением функции $y=f\left(x\right)$ на отрезке $\left[a,\; b\right]$.
- Интеграл является числом того же знака, что и функция, то есть $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx >0$, если $f\left(x\right)>0$, и $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Пусть функция $f\left(x\right)$ непрерывна на заданном отрезке $\left[a,\; b\right]$. Известно, что ОИ $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx $, пределы интегрирования которого -- постоянные числа, имеет результатом некоторое конкретное число. При этом значение интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть интеграл $\int \limits _{a}^{b}f\left(t\right)\cdot dt $ имеет то же самое значение.
Теперь предположим, что верхний предел интегрирования меняется. Разумеется, при этом будет меняться и значение интеграла. Таким образом, можно сделать вывод, что ОИ с переменным верхним пределом является функцией, зависимой от значения верхнего предела.
Если переменный верхний предел интегрирования обозначить $x$, то ОИ с переменным верхним пределом имеет вид $F\left(x\right)=\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt $ и представляет собой зависимую от $x$ функцию. Этот интеграл гарантированно существует, если верхний предел $x$ удовлетворяет условию $a\le x\le b$. Одним из свойств функции $F\left(x\right)$ является то, что она непрерывна по верхнему пределу интегрирования.
Используя функцию $F\left(x\right)=\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt $ можно установить связь между её производной и определенного интеграла.
Отметим, что именно данное свойство обеспечивает интегрируемость функции, если точка $x=c$ является точкой её конечного разрыва. При этом значение функции в этой точке не влияет ни на существование, ни на значение определенного интеграла.
Если функция $f\left(x\right)$ непрерывна на отрезке $\left[a,\; b\right]$, то производная функции $F\left(x\right)=\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt $ по верхнему пределу интегрирования $x$ существует и равна значению подынтегральной функции в точке $t=x$, то есть $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$.
Дадим переменной $x$ произвольное приращение $\Delta x$ в пределах отрезка $\left[a,\; b\right]$, то есть $a\le x+\Delta x\le b$.
Найдем соответствующее приращение функции $F\left(x\right)$: $\Delta F\left(x\right)=F\left(x+\Delta x\right)-F\left(x\right)=\int \limits _{a}^{x+\Delta x}f\left(t\right)\cdot dt -\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt $.
Учитывая свойство аддитивности определенного интеграла, можно записать:$\int \limits _{a}^{x+\Delta x}f\left(t\right)\cdot dt =\int \limits _{a}^{x}f\left(t\right)\cdot dt +\int \limits _{x}^{x+\Delta x}f\left(t\right)\cdot dt $.
Таким образом, получаем: $\Delta F\left(x\right)=\int \limits _{x}^{x+\Delta x}f\left(t\right)\cdot dt $. Поскольку функция $f\left(x\right)$ непрерывна, то для этого интеграла справедлива теорема о среднем значении, а именно: $\Delta F\left(x\right)=f\left(c\right)\cdot \Delta x$, где $x\le c\le x+\Delta x$.
Теперь найдем предел отношения приращений $\frac{\Delta F}{\Delta x} $ при $\Delta x\to 0$. Очевидно, что при этом $c\to x$, а поскольку функция $f\left(x\right)$ непрерывна, то и $f\left(c\right)\to f\left(x\right)$. По определению этот предел равен производной $F'\left(x\right)$. Окончательно: $F'\left(x\right)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \; \frac{\Delta F}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \; \frac{f\left(c\right)\cdot \Delta x}{\Delta x} =f\left(x\right)$.
Применяя свойства ОИ и тождественные преобразования подынтегральной функции, представить данный интеграл $\int \limits _{1}^{3}\frac{3\cdot x^{2} -5\cdot x+3}{2\cdot x} \cdot dx $ в виде суммы простейших.
\[\int \limits _{1}^{3}\frac{3\cdot x^{2} -5\cdot x+3}{2\cdot x} \cdot dx =\int \limits _{1}^{3}\left(\frac{3}{2} \cdot x-\frac{5}{2} +\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x} \right)\cdot dx =\] \[=\frac{3}{2} \cdot \int \limits _{1}^{3}x\cdot dx -\frac{5}{2} \cdot \int \limits _{1}^{3}dx +\frac{3}{2} \cdot \int \limits _{1}^{3}\frac{1}{x} \cdot dx .\]Применяя свойства ОИ и тождественные преобразования подынтегральной функции, представить данный интеграл $\int \frac{e^{3\cdot x} +1}{e^{x} +1} \cdot dx $ в виде суммы простейших.
Преобразуем подынтегральную функцию посредством применения формулы суммы кубов: $a^{3} +b^{3} =\left(a+b\right)\cdot \left(a^{2} -a\cdot b+b^{2} \right)$.
Получаем:
\[\int \limits _{0}^{1}\frac{e^{3\cdot x} +1}{e^{x} +1} \cdot dx =\int \limits _{0}^{1}\frac{\left(e^{x} +1\right)\cdot \left(e^{2\cdot x} -e^{x} +1\right)}{e^{x} +1} \cdot dx =\int \limits _{0}^{1}\left(e^{2\cdot x} -e^{x} +1\right)\cdot dx =\] \[=\int \limits _{0}^{1}e^{2\cdot x} \cdot dx -\int \limits _{0}^{1}e^{x} \cdot dx +\int \limits _{0}^{1}dx .\]
