Интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Обычно определенный интеграл (ОИ) $I=\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx $ от функции $y=f\left(x\right)$ рассматривается при условии, что отрезок интегрирования $\left[a,\; b\right]$ является конечным. Однако, существует множество задач, в которых возникает необходимость рассмотреть ОИ на каком-то из бесконечных промежутков $\left[\left. a,\; +\infty \right)\right. $, $\left(\left. -\infty ,\; b\right]\right. $ или $\left(-\infty ,\; +\infty \right)$. Такие интегралы называют несобственными.
Понятно, что традиционное определение ОИ на эти случаи распространять нельзя, поскольку построение интегральных сумм Римана на бесконечных промежутках невозможно. Именно поэтому для таких несобственных интегралов вводят дополнительные определения.
Рассмотрим несобственный интеграл $\int \limits _{a}^{+\infty }f\left(x\right)\cdot dx $, в котором является бесконечным верхний предел интегрирования. Пусть функция $f\left(x\right)$ непрерывна на промежутке $\left[\left. a,\; +\infty \right)\right. $. Сначала ограничим этот промежуток до $\left[a,\; B\right]$ и рассмотрим интеграл $F\left(B\right)=\int \limits _{a}^{B}f\left(x\right)\cdot dx $, который является функцией своего верхнего предела. Теперь предположим, что $B\to +\infty $. При таких условиях принимают, что $\int \limits _{a}^{+\infty }f\left(x\right)\cdot dx =\mathop{\lim }\limits_{B\to +\infty } \; \int \limits _{a}^{B}f\left(x\right)\cdot dx $.
Если указанный предел имеет конечное значение, то несобственный интеграл $\int \limits _{a}^{+\infty }f\left(x\right)\cdot dx $ называют сходящимся. Если же этот предел бесконечен или не существует совсем, то такой несобственный интеграл называють расходящимся.
Геометрический смысл сходящегося несобственного интеграла $\int \limits _{a}^{+\infty }f\left(x\right)\cdot dx $ состоит в том, что он представляет собой конечное значение площади неограниченной криволинейной трапеции.
Найти несобственный интеграл $\int \limits _{1}^{+\infty }\frac{1}{x^{2} } \cdot dx $.
Имеем: $\int \limits _{1}^{+\infty }\frac{1}{x^{2} } \cdot dx =\mathop{\lim }\limits_{B\to +\infty } \; \int \limits _{1}^{B}x^{-2} \cdot dx =\mathop{\lim }\limits_{B\to +\infty } \; \left[-\frac{1}{x} \right]_{1}^{B} =\mathop{\lim }\limits_{B\to +\infty } \; \left[-\frac{1}{B} +\frac{1}{1} \right]=1$.
Данный несобственный интеграл является сходящимся.
Найти несобственный интеграл $\int \limits _{1}^{+\infty }\frac{1}{x} \cdot dx $.
Имеем: $\int \limits _{1}^{+\infty }\frac{1}{x} \cdot dx =\mathop{\lim }\limits_{B\to +\infty } \; \int \limits _{1}^{B}\frac{1}{x} \cdot dx =\mathop{\lim }\limits_{B\to +\infty } \; \left[\ln \left|x\right|\right]_{1}^{B} =\mathop{\lim }\limits_{B\to +\infty } \; \left[\ln B-\ln 1\right]=+\infty $.
Данный несобственный интеграл является расходящимся.
Графики обеих подынтегральных функций приведены на рисунках. Обе функции сходны по поведению (убывающие и имеют асимптотой ось $Ox$). Но бесконечная криволинейная трапеция, которая соответствует подынтегральной функции $\frac{1}{x^{2} } $ (фигура слева), все же имеет конечную площадь. В то же время площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая соответствует подынтегральной функции $\frac{1}{x} $ (фигура справа), является неограниченной. Это объясняется тем, что функция $\frac{1}{x^{2} } $ убывает до нуля значительно быстрее, нежели функция $\frac{1}{x} $.
Аналогично определяются также следующие несобственные интегралы:
- $\int \limits _{-\infty }^{b}f\left(x\right)\cdot dx =\mathop{\lim }\limits_{A\to -\infty } \; \int \limits _{A}^{b}f\left(x\right)\cdot dx $ -- интеграл на бесконечном промежутке $\left(\left. -\infty ,\; b\right]\right. $;
- $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)\cdot dx =\int \limits _{-\infty }^{c}f\left(x\right)\cdot dx +\int \limits _{c}^{+\infty }f\left(x\right)\cdot dx =\mathop{\lim }\limits_{A\to -\infty } \; \int \limits _{A}^{c}f\left(x\right)\cdot dx +\mathop{\lim }\limits_{B\to +\infty } \; \int \limits _{c}^{B}f\left(x\right)\cdot dx $ -- интеграл на бесконечном промежутке $\left(-\infty ,\; +\infty \right)$, где $c$ -- произвольное действительное число.
Пусть на точку $m$ действует сила, направленная к некоторой фиксированной точке $M$ и по величине обратно пропорциональная квадрату расстояния $r$ между точками. Так ведет себя, в частности, гравитационная сила для материальных точек и электростатическая сила для точечных противоположных зарядов. Нужно найти работу, затраченную на перемещение точки $m$ из некоторого положения $r_{0} $ на бесконечность.
Величина силы выражается формулою $F=\frac{k}{r^{2} } $, где $k$ -- некоторый коэффициент пропорциональности. Затраченная работа называется потенциалом и может быть вычислена с помощью следующего интеграла:
\[A=\int \limits _{r_{0} }^{+\infty }\frac{k}{r^{2} } \cdot dr =\mathop{\lim }\limits_{R\to +\infty } \; \int \limits _{r_{0} }^{R}\frac{k}{r^{2} } \cdot dr =k\cdot \mathop{\lim }\limits_{R\to +\infty } \; \left[-\frac{1}{r} \right]_{r_{0} }^{R} =k\cdot \mathop{\lim }\limits_{R\to +\infty } \; \left(-\frac{1}{R} +\frac{1}{r_{0} } \right)=\frac{k}{r_{0} } .\]Из полученной формулы видно, что при перемещении на бесконечное расстояние получаем конечную работу.
Интегралы от неограниченных функций
Известно, что необходимым условием интегрируемости функции $y=f\left(x\right)$ на некотором отрезке $\left[a,\; b\right]$ является её ограниченность на нём. Однако существует немало задач, в которых подынтегральная функция $f\left(x\right)$ стремится к бесконечности при приближении $x$ к какому-то одному или сразу к обоим пределам интегрирования. Целесообразно расширить понятие ОИ и на такие функции посредством введения дополнительных определений. Интегралы от неограниченных функций также называют несобственными.
Рассмотрим несобственный интеграл $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx $, в котором функция $f\left(x\right)$ определена на промежутке $\left[a,\; b\right)$. Предположим, что $f\left(x\right)\to \infty $ при $x\to b-0$, то есть функция неограниченно возрастает, если $x$ неограниченно приближается к точке $x=b$ слева. При этом точка $x=b$ называется особой. Чтобы придать такому интегралу смысл, сначала ограничим этот промежуток до $\left[a,\; b-\varepsilon \right]$, где число $\varepsilon >0$ такое, что $b-\varepsilon >a$. Теперь рассмотрим интеграл $F\left(\varepsilon \right)=\int \limits _{a}^{b-\varepsilon }f\left(x\right)\cdot dx $, который является функцией $\varepsilon $ и предположим, что $\varepsilon \to 0$. При таких условиях принимают $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =\mathop{\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \; \int \limits _{a}^{b-\varepsilon }f\left(x\right)\cdot dx $. Если указанная граница имеет конечное значение, то несобственный интеграл $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx $ называют сходящимся. Если же этот предел бесконечен или не существует совсем, то такой несобственный интеграл называют расходящимся.
Геометрический смысл сходящегося несобственного интеграла $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx $ состоит в том, что он представляет собой конечное значение площади криволинейной трапеции, высота которой бесконечна.
Аналогично определяются также следующие несобственные интегралы:
- $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =\mathop{\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \; \int \limits _{a+\varepsilon }^{b}f\left(x\right)\cdot dx $ -- интеграл с особой точкой $x=a$;
- $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =\mathop{\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \; \int \limits _{a}^{c-\varepsilon }f\left(x\right)\cdot dx +\mathop{\lim }\limits_{\delta \to 0} \; \int \limits _{c+\delta }^{b}f\left(x\right)\cdot dx $ -- интеграл с особой точкой $x=c$ такой, что $a
- $\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx =\mathop{\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \; \int \limits _{a+\varepsilon }^{c}f\left(x\right)\cdot dx +\mathop{\lim }\limits_{\delta \to 0} \; \int \limits _{c}^{b-\delta }f\left(x\right)\cdot dx $ -- интеграл с особыми точками $x=a$ и $x=b$; $c$ -- произвольная точка из интервала $\left(a,\; b\right)$.
