Основные понятия арифметики
Прежде чем разобраться в определении разности чисел, напомним понятия арифметики и натуральных чисел.
Арифметикой называется наука о числах. Эта наука возникла так же, как и другие науки в результате появления специальных потребностей в практической деятельности людей. Много тысячелетий назад людям было необходимо научиться считать количество добычи, вести счёт времени и делать другие математические действия. Изначально люди пользовались только натуральными числами, то есть числами, которыми можно перечислить какие-либо предметы в строго определённом порядке: $1$ (один), $ 2$ (два), $3$ (три), $4$ (четыре), $5$ (пять), $6$ (шесть) и т.д. При устной и письменной нумерации мы пользуемся только натуральными числами.
Нужно уметь определять разницу между цифрами и числами. Цифрами называют десять символов $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Эти символы называют арабскими цифрами, так как первая книга по арифметике "Арифметика Индорум" с использованием этих символов была написаны на арабском языке. Также эти цифры называют индийскими, так как автор книги использовал нумерацию из практики вычислителей Индии.
С помощью цифр записывают числа.
Вычитание и разность
Определение разности чисел происходит вследствие такого арифметического действия как вычитание. Для начала, дадим определение арифметическому действию:
Арифметическое действие - это такой процесс, в результате которого по двум данным числам получают третье, удовлетворяющее некоторым условиям.
Выделяют четыре арифметических действия:
- сложение;
- вычитание;
- умножение;
- деление.
Сложение и вычитание - это обратные друг другу действия. Напомним, что означает сложение.
Сложение - это действие, в результате которого получается определённое число, состоящее из стольких единиц, сколько есть всего в данных ранее числах.
Складываемые числа называются слагаемыми. Результатом сложения слагаемых является их сумма. То есть сумма - это результат сложения. Знаком сложения является плюс, записывается так: $+$.
Пример записи сложения: $12+1 = 13$. Здесь $12$ и $1$ - это слагаемые, а $13$ - сумма.
Перейдём к определению вычитания. Как уже было сказано, вычитание является обратным действием сложения. Отсюда можем утверждать, что:
Вычитание - это такое арифметическое действие, в результате которого по одному данному слагаемому и данной сумме находится другое слагаемое. Вычитание обозначается знаком "$–$" (минус).
Разница со сложением состоит в том, что в сложении сумма является искомой, а при вычитании - данной. В случае вычитания данная сумма называется уменьшаемым числом. Слагаемое, по которому находится другое слагаемое, называется вычитаемым. Полученное число называют разностью. Из этой цепочки дадим определение разности.
Разность - это число, полученное в результате вычитания.
$29 – 11=18$.
$29$ - уменьшаемое, $11$ - вычитаемое, $18$ - разность.
В множестве натуральных чисел вычитание возможно только если уменьшаемое больше вычитаемого. В свою очередь, сложение натуральных чисел выполняется всегда, то есть с любыми натуральными числами.
Особенности действий с $0$:
- Прибавление к числу нуля не изменяет этого числа: $13+0=13, 0+14=14, 0+0=0$.
- Вычитание нуля из уменьшаемого числа не изменяет этого числа: $9–0=9$.
- Если уменьшаемое число равно вычитаемому, то разность равна нулю: $10–10=0$.
Интересно узнать, что несколько столетий назад в России сложение имело термин "аддиция", а вычитание - "субстракцио".
Свойства вычитания
$x-(y+z)=x-y-z;$ пример: $26-(14+4)=26-4-14=22-14=8$;
$(x+y)-z=(x-z)+y=x+(y-z;)$ Пример: $(37+28)-5=(37-5)+28=60$;
$x+(y-z)=x+y-z;$ пример: $51+(37-5)=51+32=19$;
$x-(y-z)=x-y+z;$ пример: $66-(34-7)=(66-34)+7=39$;
если $x-y=z$, то $x=y+z$; пример: $x-7=6, x=7+6, x=13$;
если $x-y=z$, то $y=x-z$; пример: $46-y=16, y=46-16, y=30$;
если $x-y=z$, то $(x+n)-y=z+n$ и $(x-n)-y=z-n$; пример: $19-11=8, (19+6)-11=8+6, (19-1)+11=8-1$;
если $x-y=z$, то $x-(y+n)=z-n$ и $x- (y-n)=z+n$; пример: $46-11=35; 46-(11+4)=35+4; 46- (11-9)=35-9$;
если $x-y=z$, то $(x+n)+(y-n)=z$;
если $x-y=z$, то $(x+n)-(y+n)=z$ и $(x-n)-(y-n)=z$.
Недесятичные системы счисления
Мы рассмотрели много примеров определения разности в десятичной системе исчисления, которая наиболее нам привычна в повседневной жизни. Поясним, что означает понятие десятичной системы исчисления.
В зависимости от занимаемого цифрой места, она означает то или иное число: количество единиц, десятков, сотен и т.д. Места цифр называют в математике разрядами. То есть, в числе $6083$ имеется $3$ единицы первого разряда, $8$ единиц - второго, $0$ - третьего (то есть отсутствие единиц), $6$ - четвертого. То есть это число можно записать так: $6083=6000+80+3$ или $6083=6\cdot 10^3+8\cdot 10+3$.
Десятичная система исчисления называется так, потому что по этой системе десять единиц одного разряда составляют единицу следующего высшего разряда. Иначе говорят, что основанием десятичной системы счисления является число $10$. В глубокой древности люди выбрали основной именно десятичную систему счисления, так как всем привычнее считать по десяти пальцам на руках.
Существуют и другие системы счисления, недесятичные. Например, основанием системы счисления может быть $8$. Тогда говорят о восьмеричной системе счисления. В этом случае достаточно восьми цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Таким образом, возможны также двоичная, троичная, пятеричная, двенадцатеричная, шестнадцатеричная и другие системы счисления. Основанием системы счисления может быть любое натуральное число, которое больше $1$.
Чтобы при письме отличать числа, относящиеся к различным системам, их записывают так: $325_{(8)}, 100_{(2)}, 322_{(16)}$. Расшифруем эти записи:
$325_{(8)} = 3\cdot 8^2+2\cdot 8 + 5$,
$100_{(2)} = 1\cdot 2^2+0\cdot 2 + 0$,
$322_{(16)} = 3\cdot 16^2+2\cdot 16 + 2$.
Каждая цифра, означающая определённый разряд, называется систематическим числом. Арифметические действия можно осуществлять и над систематическими числами. Вычитание с систематическими числами похоже на вычитание в десятичной системе. Для наглядности рассмотрим пример.
Задача. Определить разность $3412_{(8)}-112_{(8)}$.
Решение. Вычитание будет производиться по степени возрастания разрядов.
Разряд 1. Из двух единиц первого разряда отнимаем две единицы первого разряда. Это $0$.
Разряд 2. Из одной единицы второго разряда отнимаем одну единицу второго разряда. Это тоже $0$.
Разряд 3. Из четырёх единиц третьего разряда отнимаем одну единицу третьего разряда. Это $3$.
Разряд 4. У второго числа нет четвёртого разряда. Поэтому в ответе на месте четвёртого разряда запишем такой же разряд, какой есть у уменьшаемого числа.
Ответ. $3300_{(8)}$.
Подведём итог. В данной статье мы рассмотрели суть определения разности (или вычитания) натуральных чисел, рассмотрели основные понятия данного арифметического действия. Стоит отметить, что определение разности возможно также с дробными числами, рациональными числами и иррациональными числами.
